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Differentialgleichungen 
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ersten Integralen einer gegebenen Differentialgleichung, anstatt 
von der ursprünglichen Gleichung auszugehen, aus der Diffe 
rentialgleichung selbst her. 
Setzt man zuvörderst, wie im §. 240., h — — x, und bezeich 
net den x— o entsprechenden Werth von y mit A, so findet man: 
dyx d 2 y x 2 d 3 y 
~r ~ 
A = 
■2C. (a), 
dx 1 ' dx 2 1.2 dx 3 1.2.3 
in welcher Gleichung mqn alle Differential - (Koefficienten verschwin 
den lassen kann, welche von einer höhern Ordnung sind als die 
gegebene Differentialgleichung. Es sey diese z. B. von der zwei 
ten Ordnung und von folgender Form 
d2 y_ s /„ „ d y 
dx 2 
dx ; 
(Z)5 
hieraus leitet man die Werthe der nach höhern Differential-Coeffi- 
cienten ab, und da die Gleichung (a) vermittelst derselben zur 
folgenden wird, 
A d T x 
A = y - 
J dx 1 
X 2 
( x ' y ' rJ 
iTs 
( x ' y - k) 
X 3 
1.2.3 1 
2C. (1), 
so ist sie auf die erste Ordnung zurückgeführt und ist ein erstes 
Integral der Gleichung (Z), da A alsdann die willkürliche Con- 
stante bedeutet. 
Dieses vorausgesetzt, kann man in der zweiten Seite der 
Gleichung (a), -A für j schreiben, um den x — o entsprechenden 
Werth von zu finden; bezeichnet man diesen Werth mit A if 
so hat man 
und ersetzt man wiederum 
d 2 y d 3 y X 2 
' dx 2 + 
d 2 y d 3 i 
dx 3 1.2 
2C. 
rc. durch ihre aus der Glei 
chung (Z) abgeleiteten Werthe, so erfolgt: 
+s '( s ' w. 
welche Gleichung ein anderes erstes Integral der gegebenen Dif 
ferentialgleichung seyn wird. Weiter fortfahren läßt sich nun 
aber nicht, weil bloß die Werthe von y und ^ willkürlich sind.