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Differentialgleichungen 
allgemein zu seyn, ein von y unabhängiges Glied enthalten und 
folglich die Form haben: 
d"y r -4“d?xl n—1 ycl:>c-j- Qd n—2 ydx 2 . .. -}- Uyd;c n :=ydx a .. (2)5 
allein die Integration dieser letzteren läßt sich leicht auf diejenige 
der ersteren zurückführen. Man hat dies schon für die erste Ord 
nung im §, 285. wahrgenommen; allein auch bei einer beliebi 
gen Ordnung reicht es hin, eine Anzahl n besonderer 
Werthe von y zu kennen, welche der Gleichung (1) 
genügen, um zum vollständigen Integrale der Glei 
chung (2) zu gelangen. 
Lagrange, welcher diesen wichtigen Lehrsatz entdeckt hat, be 
wies denselben dadurch, daß er den auf die Gleichung (1) be 
züglichen allgemeinen WertK von y durch das Variiren der Größen 
C T/ C 2 ... G n auf die Gleichung (2) ausdehnte. 
Um die Begriffe zu sixiren, nehme ich an, die gegebene 
Differentialgleichung sey bloß von der dritten Ordnung. Man 
erhält hier: 
y = C j j t -f-C 2 y 2 -f- C 3 y 3 , 
in welchem Ausdrucke C r , C 2 und C 3 so zu bestimmen sind, 
daß der Gleichung 
d 3 y -j- Pd 2 ydx -s- Qdydx 2 -j- Uydx 3 == Vdx 3 
Genüge geleistet wird. 
Bildet man nach und nach die Werthe von dy, d 2 y und d-y, 
indem man G,, C 2 und C 3 als Veränderliche behandelt, so findet 
man zunächst 
dy = C jdy, + C 2 dy a + C 3 dy , + -f j 2 dC 2 + y 3 dC 3 ; 
allein da man drei Größen zu bestimmen hat, und die gegebene 
Aufgabe nur eine Bedingung darbietet, so kann man deren zwei 
nach Belieben aufstellen und demnach 
y t dC T + y 2 dC 2 +y 3 dC 3 =0 
annehmen, wodurch man erhält: 
dy— Cidy t -1-C 2 dy 2 -|-C 3 dy 3 , 
gleichsam als hätten C T , 0 2 und 6 3 nicht variirt. Differentiirt 
man diesen Ausdruck, so erfolgt: 
d*y—C I d 2 y,+C 2 d ? y 2 + C 3 d 2 y 3 +dy l dC,+ dy 2 dC 2 -fdy 3 dC i ; 
nimmt man nun noch an: 
dyidCj-J-dy 2 dC 2 -f-dy 3 dC 3 ==(), 
so bleibt übrig: 
d 2 v = C,d a yi +C 2 d s y 2 -f-C 3 d 2 y 3 , 
woraus man zieht: 
d 3 y = Cjd 3 y, + C 2 d 3 y 2 + C 3 d 3 y 3 
-j-d 2 y,dC I + d 2 y 2 dC 2 + d 3 y 3 dC..