Differentialgleichungen
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dy,d*C l + dy 4 d*C, + 2d* yi dC I . rf-2d«y a dC a V_ ,
+ Pdy I dC I dx+Pdy 2 dC 2 dxj — VQX '
aus welcher Gleichung man dC 2 und d 2 C 2 fortschaffen kann,
indem man deren Werthe aus der Gleichung y T dC T +j 2 dC 2 :=o
und aus ihrem Differentiale ableitet; da die Endgleichung nur
d*C,, dC T und Functionen von x enthält, so läßt sie sich auf
die erste Ordnung zurückführen (306).
Wenn man^ endlich nur einen einzigen besonderen Werth für
y hat, so verfällt man auf eine Hülfsgleichung von der dritten
Ordnung, welche sich auf die zweite zurückführen läßt, wovon
man sich leicht überzeugt, wenn man für y, dy, d 2 y unt> d 3 y
respective C T y T , C r dy T + y,dCi, c, d 2 y, + 2 dy,d€, + y T d 2 C„
1^d 3 y T "l - 3d 2 j,dC x -}-3dy t d 2 Ci -}- yjd 3 C, substituirt: durch diese
Substitutionen erhält man nämlich:
y,d 3 Cj 3dy,d 2 Cj +3d 2 y,dC, \
-|-Py,d 2 € l dx-j-2Pdy,dC T dx ( = Ydx 3 ,
+ 9yi dC i dx2 )
Nimmt man in den vorhergehenden Rechnungen V — 0 an,
so zeigen dieselben bald, wie man mit zwei oder mit nur einem
besondern Werthe der Function y zu deren allgemeinem Werthe
in der Gleichung
d 3 y -j- Pd 2 ydx -j- Qdydx 2 -J- Uydx 3 = o
gelangen kann; mithin ergiebt sich für alle Differentialgleichun
gen vom ersten Grade der folgende Lehrsatz:
Hat man n besondere Werthe von y für die Glei
chung (1), so zieht man daraus unmittelbar den
allgemeinen Ausdruck dieser Function für bte Glei
chungen (i) und (2); und wenn man nur n— l be
sondere Werthe von y kennt, so gelangt man auch
in diesem Falle zu jenem Ausdrucke, wofern man
eineGleichung vom erftenGrade und von der ersten
Ordnung differentiirt.
§. 315.
Zum Beispiele diene die Gleichung von der zweiten Ordnung:
d 2 y-f- Pdydx-j- Uydx 2 = Vdx 2 .
Bezeichnet man durch y t und y 2 die besondern Werthe von y,
welche der Gleichung :
d 2 y -j- Pdydx -f- Uydx 2 = o
Genüge leisten; so wird das vollständige Integral der gegebenen
Differentialgleichung folgendes seyn:
y = C l y I + C a y 2 ,
wofern C, und C 3 durch die Gleichungen
