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Rationale Functionen«
^ (ax-f-b) 2 —3b (ax-f-b) -f-3b 2 l(ax-{-b)+b 3 (ax-f-b)~ 1 ^ -f- B.
Man könnte leicht die allgemeine Formel bilden, und hätte
man,
Ax n dx-|- B x p dx-}-C x^dx . . . . .
(ax-fb)“ '
dy.
so würde man dieses auf folgende Art schreiben:
, Ax"dx , Bx p dx Cx q dx
^ (ax-j-b) m ' (a x b) m ’ (a x -]- b) ,n * #
und hierauf jedes Einzelne Glied so behandeln, wie das erste so
eben behandelt wurde.
tz. 172.
Die gebrochenen und rationalen Functionen sind im Allgemei
nen von der Form:
(A x m -}- B x n -j- C xP, . .) d x
AV^-f-B'x^ + G'xP'. . . #
die ich, der Kürze halber, durch darstellen will. Es muß
zuvörderst bemerkt werden, daß der Exponent des x im Zahler-
kleiner als im Nenner vorausgesetzt werden könne; denn wäre die
ses nicht der Fall, so erhielte man, durch die Division des 17
durch V, wenn man den Quotienten Q und den Rest K nennte,
— JQ d x -f allein da Q eine rationale und
ganze Function ist, so würde man/Qdx durch die unmittelbare
Anwendung der Regel des §. 167. bestimmen, und es bliebe nur
noch J zu finden übrig, worin die Function B,, in Bezug
auf x, von einem niedrigern Grade ist, als die Function V. Die
allgemeinste Form, die der Bruch haben kann, wird dem
nach folgende seyn:
(A x n 1 -f- B x n ~~ 2 -s- C x n ~ 3 . . . . -f- T) d x
x n -j-A'x«-*-f Bx a ~ a + G'x n—3 . . . +T'
Die allgemeine Methode, Differentiale zu integriren, welche
durch rationale Brüche ausgedrückt sind, besteht darin, diese
letzteren in andere zu Zerfällen, deren Nenner einfacher sind, und
welche man partielle Brüche nennt, und auf folgende Art
erhält.
Setzt man den Nenner des gegebenen Bruches gleich Null, so
bildet man die Gleichung,
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