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Gleichzeitige Differentialgleichungen. 
die Aufgabe ist also vollkommen gelöst, weil man zwischen den 
Veränderlichen u, x und t zwei ursprüngliche Gleichungen hat, 
welche jede eine willkürliche Constante enthalten. 
§. 319. 
Gehen wir zu einem Systeme von Gleichungen mit vier Ver 
änderlichen über, welchem man immer die folgende Gestalt geben 
kann: 
du + (Pu -j-Qx + R y )dt = Tdt 
dx —J— (P 7 u. —J— Q'x -f- R'y)dt = T'dt 
dy -f- (P'u -s- Q"x-j- R /7 y)dt = 'R'dt. 
Multiplicirt man die zweite mit 9, die dritte mit 9', addirt die 
Products zur ersten, macht 
u -j- 9x 9j = Zf 
weßhalb 
du-f-^dx-f-^dy —dz —xd$— yd$', 
ii = z — t9'X — d'jf 
und vereinigt, nach der Substitution dieser Werthe, die mit x 
und die mit y behafteten Glieder, um sie gleich Null zu setzen: so 
wird die obige Gleichung in die drei folgenden zerlegt: 
dz + (P+P , 1 9-+P ,/ y)zdt=(T+T / ^4-T ,/ y)dt . . . 0) 
d9 + [{P+P'9+P"9') 9 — (Q+Q'^H-Q"^')] dt = 0 - . (b> 
A9'+ [(P+P'^+P"#')#' — (R-f-R'^+R'^Jdt = o. . (b'); 
und wenn man die Werthe von 9 und 9' finden kann, welche 
den Gleichungen (b) und (b') genügen, so wird die auf die Ver 
änderlichen z und t zurückgeführte Gleichung (a) wiederum wie im 
vorigen tz. integrirt werden können. 
Beschränkt man sich auf den Fall, wo die (Koefficienten der 
Functionen u, x und y (Konstanten sind, so kann man annehmen 
d9 = o, d5' = o; 
hieraus geht hervor: 
(P p'#_|_ P"9') 9 — CQ+Q'5- + Q"&') = o 
(P + P'9 -f P"9') 9'— (R+R^ + R"9') = o; 
und macht man 
F-\-V'd-+ = m, 
so werden die obigen Gleichungen: 
(m — R")fr' — R'^=rR, 
und geben für 0- und 9' Werthe, welche in dem Ausdrucke von 
in substituirt, zu einer Endgleichung führen, worin diese Unbe 
kannte auf den dritten Grad steigen wird. Da jeder ihrer Werthe 
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