§. 323. 
Obschon die besondern Auflösungen nicht implicite in dem 
vollständigen Integrale enthalten sind , so können sie dennoch da 
von abgeleitet werden, wenn man die willkürliche Constante als 
unveränderlich anzusehen aufhört. Denn es sey 
U —o 
eine primitive Gleichung, welche die Veränderlichen x, y und 
eine Constante o enthält; die entsprechende Differentialgleichung, 
die ich durch 
V=o 
bezeichnen will, wird alsdann das Resultat der'Elimination jener 
Constante zwischen den Gleichungen 
U — o, —— dx 4- -— dy — o 
dx dy J 
seyn (§. 53 ); allein wenn man annimmt, daß c eine beliebige 
Function ist, so giebt man der Gleichung 17 = o eine solche Aus 
dehnung , daß sie eine beliebige Gleichung mit zwei Veränderli 
chen und folglich auch alle besondern Auflösungen der Gleichung 
Y = o vorstellen kann. Dieses vorausgesetzt, da der Werth, 
welchen die Gleichung 17 — o für y und für deren Differential 
giebt, welchen ich mit 6y = pdx bezeichnen will, die Gleichung 
V — 0 unabhängig von c befriedigt: so kann man immerhin c 
als veränderlich annehmen, wofern das Gesetz seiner Aenderung 
ein solches ist, daß man immer dy — pdx hat. Allein obschon 
im Allgemeinen, wenn man c nicht minder veränderlich als x ansieht, 
dy — pdx + qdc 
zum Vorschein kommt, wo p und q Functionen von x und o 
bedeuten: so erhält man demnach nur dy — pdx, wenn q = o. 
Bestimmt man also o durch diese letzte Gleichung, und subfti- 
tuirt den gefundenen Werth in 17 = o, so wird das Resultat 
ebenfalls der Differentialgleichung V — o genügen. 
In dem Vorhergehenden wurde y als eine Function von x 
und c angesehen. Betrachtet man auf der andern Seite x als 
eine Function von y und c, so erhält man dx — mdy; und 
schließt man eben so wie oben, so findet man, daß wenn beim 
Variiren der c der Werth von 6x folgender ist dx — mdy-|-ndc, 
die aus der Elimination von c zwischen den Gleichungen » — o, 
und 17 — 0 resultirende Gleichung ebenfalls der Differentialglei 
chung V — o genügen wird. 
Man kann diese beiden Verfahrungsweisen in einer einzigen 
zusammenfassen, wenn man in der Gleichung 
617. .617 dIJ 
— + dc