Besondere Auflösungen. 
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welche das Differential von U = o ist, wofern man außer x 
und j, c vamren laßt, die Nenner verschwinden macht. Sie 
wird alsdann die Form haben: 
Mdx -f-Ndj -j-Pdc = o, 
woraus man zieht: 
M P NP 
dy = -^dx-^d C , dx = ~ M dy ~ M dC ’ 
und wenn die ganzen Functionen M, N algebraisch sind, oder, 
obschon sie transcendent sind, für keinen Werth von c unendlich 
groß werden können: so wird der Coefficient von de nur durch 
die Annahme 
P = o 
verschwinden, welche demnach alles leisten wird, was man aus 
den oben angezeigten Operationen ableiten kann. 
Die Gleichungen, auf welche uns die obigen Methoden führen, 
sind nicht nothwendig besondere Auflösungen'der Gleichung V—o; 
allein um sich hierin nicht zu tauschen, muß man die besondern 
Umstande untersuchen welche die Gleichung P = o darbieten 
kann. 
Es ist zuvörderst einleuchtend, daß wenn diese Gleichung der 
c einen constanten Werth zuweist, dieselbe nur auf ein besonderes 
Integral führen wird; allein wenn jener Werth veränderlich ist, 
so muß man nicht sogleich daraus schließen, daß das Resultat der 
Elimination der c zwischen P,— o und ü = o nothwendig eine 
besondere Auflösung seyn wird; denn es kann sich doch noch zu 
tragen, daß die resultirende Gleichung nur ein besonderer Fall 
von U = o ist. Um dieses ausfindig zu machen, muß man 
eine der Veränderlichen zwischen jener neuen Gleichung und U=o 
eliminiren. Kann man die andere Veränderliche verschwinden 
machen, indem man c bloß durch Constanten bestimmt, so hat 
man nur ein besonderes Integral erhalten; und fände man c= £, 
so müßte man daraus schließen, daß die Gleichung P — o ein 
Factor von ö = o ist, welcher von der Constante 6 unabhängig, 
und mithin der Differentialgleichung V — o fremd ist. 
Wenn c in U nur vom ersten Grade ist, so kommt es in P 
nicht vor, welches alsdann nur die Veränderlichen x und j ent 
hält; die Gleichung P — o genügt alsdann selbst der Gleichung 
V — o, weil insofern U = o von der Form Q + cP = o ist, 
Y = o auf PdQ — QdP = o hinauslauft; allein es ist leicht zu 
sehen, daß P — o nur ein besonderes Integral ist, welches dem 
c= unendlich groß entspricht.