§. 325.
Eine Eigenschaft der besondern Auflösungen, welche sich leicht
beim zweiten Beispiele darbietet,, und welche allgemein ist, be
steht darin, daß eine Differentialgleichung sich so
gestalten läßt, daß ihre besondere Auslösung zu
einem Factor wird. Denn setzt man
'K'x 2 + y 2 — a 2 = u,
so erhalt man
xc!x -s- ydy — udu,
und die gegebene Gleichung wird
udu — udy == o.
Nähme man an:
u — x 2 -f- y !2 — a 2 ,
so würde das Wurzelzeichen in der Transformirten sichtbar blei»
ben, da diese
du — 2djV~ u — o
werden würde; differentiirte man, so erfolgte
und ließe man den Nenner verschwinden, so ginge daraus hervor:
d 2 u ]Tu — 2ud 2 y — djdu = o,
welche Gleichung ebenfalls noch durch die Annakme von u — o
befriedigt werden würde. Da diese Transformationen so weit
man will fortgesetzt werden können, so folgt daraus, daß es
Verfahrungsweisen giebt, alle Differentiale der gegebenen primi
tiven Gleichung so zu bereiten, daß die besondere Auflösung ihnen
ebenfalls genügt, welches ohne dies nicht Statt finden würde.
Denn wenn man bei der Variirung der Constante c und der
ständige Integral dy — pdx hat: so wird der Werth von d 2 y
für die erste
während er für das andere bloß ^ dx 2 ist; auch genügen diese
beiden Werthe im Allgemeinen nicht demselben Factor; man sieht
sogar,'daß die Gleichung
Lurch die besondere Auflösung, unabhängig von den Differentia
len der zweiten Ordnung, befriedigt werden würde.