Besondere Auflösungen. 
189 
Die Entwickelung und die Beweise der oben angedeuteten 
Umstande würden mich zu weit führen; man kann sie in einer 
Denkschrift finden, in welcher H. Poisson mehre Schwierigkeiten, 
welche in der Theorie der besondern Auflösungen der verschiede 
nen Arten von Differentialgleichungen noch übrig geblieben waren, 
mit Erfolg erörtert hat. *) 
§. 326. 
Um gemäß dem Vorhergehenden zu erkennen, ob eine primi 
tive Gleichung, welche keine willkürliche Constante enthalt, und 
eine gegebene Differentialgleichnng befriedigt, ein besonderes In 
tegral oder nur eine besondere Auflösung dieser letzteren ist, muß 
man eben derselben vollständiges Integral haben. Da dieser 
Umstand nicht immer Statt findet, so führt er uns natürlich 
auf die folgende Aufgabe: 
Es sey ein Werth y = X gegeben, welcher einer 
Differentialgleichung genügt, wie findet man, ob 
er in dem vollständigen Integral enthalten ist oder 
nicht, und wie leitet man dieses letztere daraus ab, 
wenn dies möglich ist? 
Nimmt man an, daß das vollständige Integral j = V dar 
bietet und y = X in sich faßt: so wird die Function V mit der 
Veränderlichen x und der willkürlichen Constante C nothwendig 
so zusammenhangen, daß sie sich durch eine gehörige Bestimmung 
von C in X verwandelt. Bezeichnet man diesen Werth von C 
mit C, und bemerkt, daß die Annahme C = C', V —X giebt, 
oder daß der Unterschied V — X verschwindet, wenn 6 — C'—o, 
so schließt man daraus, daß der Ausdruck von V— X, wenig 
stens rücksichtlich seiner Entwickelung, unter die folgende Form 
muß gebracht werden können 
v — x=y'(C—cy+v" (c — cy ----- rc., 
wo die Exponenten \i, v rc. alle positiv und die Größen V' V" rc. 
von C — C unabhängig sind. Man kann (6 — cy — h an 
nehmen ; die Größe li wird so wie die Größe C willkürlich blei 
ben; und verwandelt man auch - in ¡.i, wo ^ alsdvnn > 1, so 
V 
erfolgt 
V — X=y / h-j-V // b M -j-:c., weßhalb 
V=X -f- V'h -f YV + 2c., 
*) Journal der polytechnischen Schule, 13tes Heft; S. auch Len „Traite 
etc.“ in 4to. B. II. S. 388.