194
Genäherte Auflösungen,
und die Gleichung
ydx — xdy — n T^dx 2 -|- dy 2 ,
woraus ninn zieht
C ll — " x y nT""x 2 -)- j 2 — n 2
dx n 2 x 2 n 2 —x 2
führt zur besondern Auflösung
x 2 J 2 — N 2 — O,
die wir schon auf verschiedenen Wegen fanden.
Vott den Methoden? die Differentialgleichungen
nahemngsweise aufzulösen.
§. 330.
Wenn eine gegebene Differentialgleichung durch keines der
bekannten Verfahren integrirt werden kann, so muß man sie na
herungsweise aufzulösen d. h. daraus einen Werth von y in x
vermittelst einer Reihe abzuleiten suchen. Man hat schon im
§. 298. gesehen, wie die Laplorsche Reihe sich hieranwenden
läßt. Man kann auch für y eine nach Potenzen von x geordnete
Reihe mit unbestimmten Coefficienten aufnehmen; allein es bedarf
meistens besonderer Kunstgriffe, um die Exponenten zu bestim
men, wenn diese nicht die Progression der ganzen Zahlen befol
gen. Ist die Form der Reihe bekannt, so gelangt man dadurch
zur Kenntniß ihrer Coefficienten, daß man sowohl die Reihe als
ihre Differentiale, anstatt y, dy, d 2 y rc. in der gegebenen Glei
chung substituirt.
Hat man z. B. die Gleichung
dy -j- ydx — mx”dx,
so nehme man an
y=Ax ß -}-Bx ß + J -]-Cx s<+2 -Hc.:
substituirt man diesen Werth und sein Differential in der gegebenen
Gleichung, indem man die Glieder so vereiniget, daß man eine
hinreichende Anzahl von Gleichungen bilden kann, um die Expo
nenten und Coefficienten bestimmen zu können, ohne in Wider
sprüche zu verfallen: so erhält man
aAx ß -*-Ka-H)Bx ß -f («+2) Cx ß + I + (a+3) Dx ß+2 + K.\ _ Q
— mx n -|- Ax si + Ex«* 1 -}- Cx ß+2 +rcJ '
welche Gleichung dadurch identisch wird, daß man aufstellt: