Geometrische Aufgaben.
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und bezeichnet man den in dem Systeme, dessen Modulus m
ist, genommenen Logarithmus von y mit Ly, so giebt die In
tegration
Construirt man zunächst die krumme Linie DN auf solche Weise, Fig. 56.,
daß die der Abfasse .AP entsprechende Ordinate PN — so
Man reducirt diesen
giebt AVNP den Werth von
Flächenraum auf ein Rechteck * Q, dessen Seite AL —m, so
auf über dem Modulus m die logarithmische Linie LP., deren
Ordinalen auf der Achse A0 senkrecht stehen, und errichtet in Q
die Senkrechte RQ: so erhalt man
L. RQ = AQ (112.), oder
Es wird demnach RQ der Ordinate PNl der gesuchten krummen
Linie gleich seyn.
Es ist wohl zu bemerken, daß diese Construction nicht fordert,
daß man den analytischen Ausdruck der Function X hat; man
könnte an ihrer Stelle die Ordinate einer beliebigen auf die Achse
AR bezogenen krummen Linie nehmen, und über dieser Ordinate
und der willkürlichen Linie m die durch die obigen Formeln an
gedeuteten graphischen Operationen vollziehen. Auch sieht man,
daß die Linie m nur deßhalb eingeführt wurde, um die Formeln
homogen zu machen, und daß sie der Einheit gleich angenom
men werden kann.
§. 335.
Ich will noch die Auflösung des Trajectorien-Problems
mittheilen, welches in den ersten Zeiten, wo man sich mit der
Integral-Rechnung beschäftigte, viel Aufsehen machte. Es hat
zum Zwecke diejenige krumme Linie zu bestimmen,
welche alle Linien von einer gegebenen Art unter
demselben gegebenen Winkel durchschneidet. Man
versteht hier unter krummen Linien von einer gegebenen Art die
verschiedenen besondern krummen Linien, welche man erhält, wenn
man einer der Constanten einer Grundgleichung nach und nach
alle möglichen Werthe beilegt. Läßt man z. B. den Parameter
einer Parabel variiren, so geht daraus eine Folge von Parabeln