Geometrische Aufgaben.
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sämmtlichen auf einander folgenden Durchschnitte mit der Tra-
jectorie umfaßt und folglich die Gleichung dieser letzteren seyn wird.
Zum Beispiele mögen uns Parabeln mit einerlei Achse und
Scheitel dienen, deren Gleichung ist:
y' n =«x' m ;
hier ist
m«x
P =
n y
Vermittelst der gegebenen Gleichung kann man, aus diesem letz
ten Ausdruck, den Parameter «/welcher unsere Parabeln von
gemeinschaftlicher Ordnung particularisirt, sogleich wegschaffen.
Substituirt inan das Resultat in der Gleichung (A), nachdem
man x', j in x, y verwandelt hat, und dividirt durch x m -iyn—»,
so findet man die gesuchte Differentialgleichung der fraglichen
Lrajectorie:
a (nxdx -j- mydy) -j- mydx — nxdy == o.
Da diese Gleichung homogen ist, so kann sie nach dem Ver
fahren des §. 283. behandelt werden.
Ist m=n=l, so wird sie integrirbar, indem man durch x 2 +y 2
dividirt, weil
und
ydx — xdy , /
1 — = d. arc 1 tang
x 2 -J-y 2 \
man hat also:
:) C279);
al/x 2 + y 2 arc ^tang==^ ==€), oder
1 r X 2 _1_ y2 / y\ , ,
j— ; indem man die wlll-
arc l tang:
kürliche Constante ändert. Macht man
/x 2 -s-y 2 — u, und arc ^tang = ^ = t,
so verfällt man auf die Gleichung der logarithmischen Spiralen,
welche (nach g. 128.) die Eigenschaft besitzen, ihren Radius Vector
unter einem constanten Winkel zu durchschneiden. Denn unter
den obigen Annahmen sind die durchschnittenen krummen Linien
gegenwärtig lauter Geraden, welche durch den Anfangspunkt der
Coordinaten gehen, indem ihre Gleichung y'—«x' ist.
Sollte der Winkel TMt ein rechter seyn müssen, so müßte
man a unendlich groß annehmen, und folglich nur diejenigen
Glieder berücksichtigen, womit a multiplicirt ist. Die obige Glei
chung geht alsdann über in