Geometrische Aufgaben.
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Es läßt sich hier leicht der bemerkenswerthe Umstand einse
hen, daß alle Geraden, von denen so eben die Rede war, von
dem Kreise, welcher die besondere^Auflösung vorstellt nothwendig
berührt werden, weil dieser die senkrechte auf jede der Geraden
zum Halbmesser hat.
Dieselbe Relation findet zwischen den verschiedenen krummen
Linien, welche durch das vollständige Integral einer Differential
gleichung von der ersten Ordnung vorgestellt werden, und zwi
schen derjenigen krummen Linie Statt, welche einer besondern
Auflösung jener Gleichung entspricht; die letztere berührt alle er
steren. Denn die Differentialgleichung bestimmt nur die Rich
tung der Tangente, und jede krumme Linie, > welche in einem
beliebigen Punkte dieselbe Tangente haben_ wird, wie eine der
krummen Linien, welche aus dem vollständigen Integrale abzu
leiten sind, wird der Differentialgleichung nothwendig genügen:
jenes geschieht aber bei der krummen Linie, welche die erwähnten
krummen Linien sämmtlich berührt.
Es folgt hieraus, daß die Abgewickelte einer krumme Linie
nichts anders ist, als die besondere Auflösung der Differential
gleichung, welche alle Normalen jener krummen Linie vorstellt
(§. 80.), und daß diese, die Abwickelnde, ebenfalls die besondere
Auflösung derjenigen Differentialgleichung ist, welche allen ihren
Krümmungs-Kreisen gemeinschaftlich ist, allein mit dem Unter
schiede, daß hier die Berührungen von der zweiten Ordnung sind.
Der im §. 323. zwischen den vollständigen Integralen und
den besondern Auflösungen begründete Zusammenhang läßt sich
auch aus geometrischen Betrachtungen ableiten. Denn jeder
Punkt im Umkreise des vorhergehenden Beispiels kann als der
Durchschnitt zweier auf einander folgenden Tangenten d.i.'als
der Durchschnitt zweier Geraden angesehen werden, welche von
zwei auf einander folgenden Werthen der Constante o herrühren;
die Abscisse und die Ordinate dieses Durchschnittes bangen von
den Werthen der c ab, welche also auch ihrerseits Function von
jenen Größen d. i. von x und y ist. Es ist einleuchtend, daß
man, um die Gleichung einer Linie zu bilden, welche der durch
die Gleichung
y — cx = nY 1-j-c 2
dargestellten nachfolgt, diese letztere zu differentiiren hat, indem
man 6 variiren läßt; und weil man nur den Durchschnitt jener
beiden Linien sucht, in welchem Punkte ihre Coordinaten gemein
schaftlich sind, so muß man x und y als constant ansehen; jener
Durchschnitt wird demnach durch die beiden Gleichungen
y — cx — ri A+c 2
nc
— x
Y' i+c