Rationale Funclionen. 
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§. 173. 
Die Integration der rationalen Brüche hat also gar keine 
Schwierigkeit, wenn dieselben, wie man oben gesehen hat, in 
partielle Brüche zerfallet worden sind, deren Nenner Binome 
vom ersten Grade sind; allein diese Form ist nur sür die einfa 
chen Factoren des Nenners des gegebenen Bruches möglich. 
Denn nimmt man', im Beispiel des vorhergehenden §., a' — a 
an, so werden die Werthe von N und N' hierdurch unendlich 
groß, welches davon herrührt, daß gegenwärtig die Anzahl der 
Unbestimmten nicht hinreichend groß ist, weil, in dem Aggregate 
^ i ]y n N' 
——— der beiden partiellen Brüche — 1 —-, , die Summe 
X — n x ■■ sl x — ä 
N + N', der beiden Unbestimmten N, N', nur für eine einzige 
Unbestimmte gelten kann. 
Man weicht diesem Uebelstande dadurch aus, daß man, an 
statt jener beiden Brüche, die zusammen genommen nur einen 
ausmachen, den folgenden gebraucht: 
(N x + N') dx 
(x—a) 2 ' 
ten gleiche Anzahl von Gleichungen. 
Die Integration des neuen Bruches bietet übrigens gar keine 
Schwierigkeit dar; denn macht man x — a = z, so verfällt man 
auf einnamige Differentiale, wie bei dem letzten Beispiele des 
§. 171., wovon das gegenwärtige nur ein besonderer Fall ist. 
Wenn, im Allgemeinen, der Nenner V des gegebenen Bruches 
den Factor (x — a) m , enthielte, so müßte man in Bezug auf die 
sen Factor, einen partiellen Bruch von folgender Form: 
(N x m -* -f N, x“ 1 - 2 + N a ... -j- N m „) d x 
annehmen, den man dadurch integrirte, daß man x —a = z 
annähme, wodurch x —a-j-z und dx — dz würde. Allein das 
Resultat dieser Substitution, welches die Form: 
(M-f-M^ + M^ 2 — + 
M 2 d z 
z 
und zeigt, daß man, anstatt des ersten Bruches, die folgenden 
annehmen könne: