Vollständige Differentialgleichungen. 207
Differentialgleichung dargeboten wird; 3°. endlich kann auch nur
eine Relation zwischen den Differential-Coefficienten der Function,
dieser selbst und den unabhängigen Veränderlichen gegeben seyn.
Ich will mich zuerst mit dem zweiten Falle im vorhergehen
den §. beschäftigen, durch die Betrachtung der Gleichung
Pdx-}- QdyRdz = o.
Diese Gleichung ließe sich nach dem Verfahren in §. 280. inte
geren, wenn die erste Seite ein genaues Differential mit drei
Veränderlichen wäre, allein wenn dies nicht der Fall ist, so kann
man vermittelst eines passenden Factors diesen Fall herbeiführen,
wofern jene Gleichung von einer Grundgleichung u — c abgelei
tet ist. Es läßt sich dies eben so zeigen wie bei zwei Veränder
lichen (§?289). Denn nun muß die obige gegebene Differen
tialgleichung mit der folgenden
du , du , du
-r- dx + -=— dy 4- —dz = o
dx 1 dy J 1 dz
Übereinstimmen, d. h. die Werthe von dz, welche aus der einen
und der andern gezogen werden, müssen, unabhängig von -dx
und dy, identisch seyn (136); allein da diese Werthe respective
dz— -
dz :
r . Q ,
dx , dy .
d^-cR^'
dz
dz
sind, so folgt, daß
du
dx
du
dz
du
3j.
R'
du
dz
du
du
du
dx
dy
dz
P
~ o
= R ‘
2, weßhalb
Nennt man diese letzteren Quotienten it, so erfolgt
du — ^tPdx -f- ßQdy -J- /¿Rdz.
Dieses vorausgesetzt muß dieses Differential, um genau zu
seyn, noch folgende Bedingungen erfüllen
d . ¡iV d . ¡uQ d , uR d . «P d . ¿¿Q d . /tiK
dy dx ; dx dz ' dz dy
deren Entwickelung die folgenden Gleichungen liefert