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208
Vollständige Differentialgleichungen.
k£-s)+ p ;
Ks-S +r
äf.l
P^-=o'
(A)
Man nimmt bald wahr, daß die Function fi verschwindet, wenn
man die erste dieser Gleichungen mit R, die zweite mit Q, die
dritte mit P multiplicirt und die Producte addirt; denn da die
Summe durch [i genau theilbar ist, so reducirt sie sich auf
Bedingungsgleichung, welche anfangs durch die gegebene Glei
chung befriedigt werden muß, damit diese vermittelst eines Factors
ein vollständiges Differential werden und folglich von einer Grund
gleichung mit drei Veränderlichen herrühren, oder, was dasselbe
ist, durch eine Function von zwei Veränderlichen befriedigt wer
den könne.
Diese letztere Rücksicht führt auch zur Gleichung (B), wenn
man den Lehrsatz von §. 278. unmittelbar anwendet. Denn hat
man den primitiven Ausdruck von z in x und y, und substi-
tuirt ihn in dem aus der Gleichung Pdx-f- Qdy-J- Rdz = o
gezogenen Werthe ümvdz, so geht daraus nothwendig ein voll
ständiges Differential mit zwei Veränderlichen und von der Form
dz = P dx+qdy hervor, =
Allein in dem gegenwärtigen Falle, wo
_ P __ Q
Uf < 1— R
R
muß man, bst P, Q und R z enthalten, bei den angezeigten Dif
ferentiationen 2 auch variiren lassen, und folglich x und q anstatt
dz einführen: mithin erfolgt, anstatt ^ ^,
dz
dx und d ~
+ P- q
da'
oder
dp dq
+ q dz“ P dz == °
(C).
dy
dy
P O
Substituirt man — ^ an die Stelle von x und q, so er
hält man, nach den Reductionen