vollständige Differentialgleichungen. 209 
P^_R« + R< lf .> 
dy dy ' 
Q — R -4- O — 
V dx + ^dz 
dQ 
dx x dx x dz dz ' 
d. r. die vorige Gleichung (B). 
Man nannre diejenigen Gleichungen, welche der Bedingungs 
gleichung (B) nicht genügten, während einer geraumen Zeit, ab 
surde Gleichungen und sah sie als nichtsbedeutend an. Allein 
Monge hat gezeigt, daß alle Differentialgleichungen mit drei Ver 
änderlichen eine wirkliche Bedeutung haben, und daß, während 
diejenigen deren Integral durch eine einzige Gleichung zwischen 
drei Veränderlichen ausgedrückt wird, krummen Oberflächen zu 
gehören, jede andere eine unendliche Anzahl von doppelt gekrümm 
ten Linien vorstellt, welche eine gemeinschaftliche Eigenschaft be 
sitzen. Beschäftigen wir uns zunächst mit den ersteren. 
tz. 340. 
Wenn die Bedingungsgleichung (B) befriedigt ist, so reichen 
zwei beliebige von den Gleichungen (A) hin, um den Factor ¡.t 
zu bestimmen, und man wird sehen, daß die Integration der 
gegebenen Differentialgleichung auf diejenige der Gleichungen mit 
zwei Veränderlichen zurückführbar ist. 
Es sey deßhalb ft derjenige Factor, welcher das Differential 
Pdx + Qdy 
integrirbar macht, wenn man in ihm z als constant ansieht; macht 
man 
/(/iPdx + /iOdy)=U, 
so erhält man zum gesuchten Integrale 
U + Z=o, 
wo Z eine bloße Function von z bedeutet. ^ Differentiirt man 
jetzt dieses Integral, indem man Alles variiren läßt, und be 
merkt, daß 
dü „ dü 
■sr= ilP ' 
d y 
=^Q, 
so erhält man die Gleichung 
¿iPdx-J-^Qdy-}- ( 
V dz dz , 
dz; 
deren Vergleichung mit der vorgegebenen darbietet: 
™ du . dZ 
* tR== dT + “' oi)er 
dz 
az_ «J 
Allein, damit die Bestimmung von Z gemäß der aufgestellten 
Annahme Statt finden könne, muß sich die zweite Seite dieser 
vacroix Znkcgr. 14