212 Vollständige Differentialgleichungen. 
Hat man z. B. die Gleichung 
dz xdx-j-ydy 
z — c x(x —a)-|-y (y— b)' 
welche die obige Bedingung so lange nicht erfüllen kann, als a 
und b von Null verschieden sind, und man macht in ihr 
y—<p 00, 
wo cp eine beliebige Function bezeichnet, so verwandelt sie sich in 
dz sx-j-hf) (x) cp' (x)] dx I 
z — c x(x — a)-j-<px [(jp(x)— b] 
und giebt so viele verschiedene Relationen zwischen 2 und x, als I 
man der Functionen cp besondere Formen zutheilt. 
Macht man 
gj(x)= x, so erhalt man 
dz 2xdx 2dx 
z -— c x (x — a) + x (x — b) 2x—a—b ' 
woraus man zieht 
z — c — C (2x—a—b), 
wofern C eine willkürliche Constante ist. Der gegebenen Differen 
tialgleichung wird demnach durch das System 
y = x s 
z — c = G (2x—a—b)j 
Genüge geleistet. 
Schon Newton hatte in seiner Abhandlung von den Flurio 
nen *) diese Art angegeben, Differentialgleichungen aufzulösen, 
welche mehr als zwei Veränderlichen enthalten. Allein diese Art 
hat den Uebelstand, für jedes Resultat, welches man erlangen 
will, eine Integration zu verlangen, und Monge bemerkte im 
Jahre 1784, daß man durch die Einführung einer willkürlichen 
Function zu einem allgemeinen Systeme von Gleichungen gelan 
gen könne, welches eine unendliche Anzahl von besondern dar 
bietet, welche sämmtlich der gegebenen Gleichung Genüge leisten. 
§. 343. 
Das zu befolgende Verfahren, um die Gleichung 
Pdx + Qdy + Rdz — o 
durch eine einzige Grundgleichung zu integriren, wenn dies mög 
lich ist (340.), führt ebenfalls zur allgemeinsten Auflösung jener 
Gleichung, im entgegengesetzten Falle. 
*) Newtons Opiiscnia. 1. ff. p. 83, Ausgabe von (744,