Vollständige Differentialgleichungen.
213
Denn integrirt man zuerst, indem man eine der Verändere
lichen z. B. z als conftant ansieht, bezeichnet durch
Ü=G
die Grundgleichung für *
Pdx + Qdy — o,
und differentiirt jene Grundgleichung, indem man zugleich x, y, z
und C variiren la$t: so gelangt man, nach der Vergleichung des
Resultates mit der gegebenen Gleichung, zu der folgenden
dC du
dz dz '
wofern fi derjenige Factor ist, welcher Pdx-|-Qdy zu einem ge
nauen Differentiale macht. Hier wird sich nun nicht mehr die
zweite Seite auf eine bloße Function von z reduciren, wie dieses
der Fall ist, wenn die Jntegrabilitats-Bedingung erfüllt wird,
und dieselbe wird nicht 6 geben können, wie jene Bedingung
erfordert. Allein es ist einleuchtend, daß, wenn man immerhin
annimmt, daß C eine Function von z sey, die gegebene Glei
chung durch die Grundgleichung U = G befriedigt werden wird,
wofern man zu gleicher Zeit hat:
«10 du
■3T=dr- flK:
macht man also
C ----- qp(z),
so wird das System von Gleichungen
^ =<p (z)l
¿¿R = (siX z)l
dU
dz
der gegebenen Differentialgleichung genügen, welches auch die
Form der Function cp seyn mag, und kann also auf eine un-
el'.dliche Anzahl von Weisen particularisirt werden, indem man
rj) willkürlich ändert.
Wendet man Vorstehendes auf die Gleichung
dz xdx-J-ydy
z — c x(x—a) + y (y—b)
an, welche im vorhergehenden §. zum Beispiele diente, so erhält
man
xdx -J- ydy
Pdx + Qdy:
■ X (x— a )+y(y—b)'
E.:
und macht man
fl — x(x—a)-f y(y— b),