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Partielle Differentialgleichungen 
Pp-fQq=R (2), 
wofern P, Q und R zugleich x, y und z enthalten, die allgemeinste, 
welche man zwischen den Differential-Coefficienten der ersten Ord- 
nnng p und q haben kann, wenn diese nicht den ersten Grad 
übersteigen. Nimmt man aus (2) den Werth von p, um ihn 
in (1) zu substituiren, so wird die Aufgabe dahin zurückgeführt 
seyn, die Gleichung 
Pàz—Rdx = q (Pdy—Qdx) (3) 
zu integriren, worin der Coefficient q noch unbestimmt ist. Es 
bieten sich hier zwei Falle dar: l°. können P, Q und R so be 
schaffen seyn, daß die Function Pdz — Rdx nur die Veränder 
lichen z und X enthält, deren Differentiale in ihr vorkommen, 
während die Function Pdy — Qdx nur x und y enthält; 2°. kann 
die eine oder die andere jener Functionen oder es können gar 
beide die drei Veränderlichen x, y und z enthalten. 
In dem ersten Falle giebt es einen Factor fi, welcher 
Pdy—Qdx zum genauen Differential macht (289.) und einen 
Factor ft, welcher dasselbe bei Pdz — Rdx bewirkt; bezeichnet 
man diese Differentiale mit dM und dN, so hat man 
Pdy — Qdx=—dM. Pdz — Rdx=—, dN, 
fl fi 
und aus der Gleichung (3) wird die folgende: 
dN=^-dM, 
fi 
welche nicht integrirbar seyn kann, wofern nicht — eine beliebige 
fi 
Function von M ist. Man setze demnach 
weßhalb 
dN == ^(M)dM, 
und integrirt man, so erfolgt 
N — rp(M), 
in welchem Resultate cp immer eine willkürliche Function bezeich 
net, welches mit demjenigen übereinstimmt, was wir im §. 140. 
über die Entstehung der partiellen Differentialgleichungen gesehen 
haben. 
Zum Beispiele dieses Falles diene die partielle Differential 
gleichung 
rnan hat hier 
px-î-qy—nz; 
P =x, Q=y,R=nz 
Pdy — Qdx =xdy — ydx 
Pdz — Rdx = xdz-—nzdx ;