220 Partielle Different-ialgleichungen rc. 
und mithin 
Diese letzte Gleichung kann nur durch die Annahme 
JQ_ 
clw Aid 
ff' (a>) 
ZUM genauen Differentiale werden, woraus folgt 
A 
man erhält also 
z-j- 9 ,(«)=P+Q, SP»=£+^, 
zwischen welchen Gleichungen io eliminirt werden muß, wenn die 
willkürliche Function ip (co) bestimmt seyn wird. 
Es reicht oft hin, den aus der gegebenen partiellen Differen 
tialgleichung entnommenen Werth von x oder q in der Gleichung 
dz = pdx-}- qdj 
zu substituiren und hieraus durch Theile zu integriren. 
Hat man z. B. 
x-^k(q) (161), 
so erfolgt 
62 = dxf (q) -ft qdy; 
man findet 
2 — xk(q) -ft qy —f[x £'(q) -ft y] dq; 
und da die angezeigte Integration nur dann vollzogen werden kann, 
wenn man aufstellt 
xkftq)-ft/—5P'(q), 
so geht daraus hervor 
2-ft P(q)— x5(q)-ftqy, y'(q) = xf'(q) -f-y. *) 
*) Monge hat die Integration der partiellen Differentialgleichungen durch 
sehr sinnreiche Betrachtungen mit der Erzeugung der Oberflächen in 
Verbindung gebracht. (Siehe seine analytische Geometrie). Die Ana 
logie der beiden Gegenstände zeigt sich auch an den Formen der In 
tegrale, ans welche wir in dem Vorhergehenden verfallen sind. Die 
Gleichung N = </) £M) (M7.) bezieht sich auf die Erzeuzungswcise, 
welche in 141. angedeutet wurde; M=.1, N=fp(a)=b sind die Glei 
chungen der Linien, woraus die Oberflächen zusammengesetzt sind, 
welche der gegebenen partiellen Differentialgleichung entsprechen, und 
das Gesetz, nach welchem die Linien auf einander folgen, liegt in der 
Form der Function (f ausgedrückt.