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Partielle Differential gleich u ngen
und Q nur x und y enthalten.
§. 241. unmittelbar geben
z=Cx-j-c', z
woraus man ableitet
Hier werden die Formeln des
-sdjsQ dy+Vj+V'i
z =/dx/Qdx -j- X y) 4- ijj(j),
z —sdjsQdy-f- y q<x) 4- U'(x).
§. 350.
Bei der zweiten Ordnung will ich bloß diejenigen Gleichungen
betrachten, in welchen alle Differential -Coefficienten von dieser
Ordnung nur vom ersten Grade sind; und um die Rechnungen zu
erleichtern, will ich die folgenden Bezeichnungen einführen, die schon
im tz. 144. gebraucht wurden:
dz = p dx 4“ qdy,
dp =rdx 4" S( ty, dq= sdx 4-tdy,
d 2 z = dpdx4“dqdy —rdx 2 4“2sdxdy 4~ tdy 2 .
Die in dem allgemeinen Falle betrachtete partielle Differen
tialgleichung mit drei Veränderlichen kann nur den Ausdruck eines
der Coefficienten r, s, t, in Function der beiden andern und
der Größen p, q, x, y, z darbringen, welches nicht hinreicht,
um die Differentiale dp und dq zu bestimmen. Man kann
auch vermittelst dieser Differentiale zwei der drei Coefficienten r,s, t
aus der gegebenen Gleichung eliminiren, und das Resultat ist die
Relation, welche diese Gleichung zwischen dp und dq voraus
setzt. Dieses ist das von Monge befolgte Verfahren. Ich werde
dasselbe auf die Gleichung
B. r 4-Ss4-Tt=V
anwenden, wo die Größen R, 8 , ll? und V, x, y, z, p und q
auf eine beliebige Art enthalten. Substituirt man die aus den
Gleichungen
dp — rdx4~sdy, dq = sdx-j-tdy
gezogenen Werthe von r und t, welche sind:
dp — sdy
dl '
t
dq — sdx
so findet man:
Kdpdy4~Tdqdx— Ydxdy = s(Rdy 2 — Sdxdy 4“ Tdx 2 ),