Rationale Functionen.
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und wegen seines nur einmaligen Vorhandenseyns in V, derselbe
Factor auch nicht dem Q angehören kann. Es wird also immer
möglich seyn, den partiellen Bruch zu erhalten, der einem Factor
von jener Gattung entspricht.
Setzt man, für ü, dasjenige was es darstellt (§.172.),
und beachtet, daß
Q:=(x —a')(x — a")(x-a"') rc.
so erhalt man:
u A a n ~ 1 -j- B a tl ~ 2 C a n — 3 T
q (a — a') (a — a") (a — a"') rc. '
welcher Ausdruck mit dem oben (§. 172.) angezeigten Gesetze
übereinstimmt.
§. 175.
Betrachten wir jetzt, wie sich die Zähler derjenigen partiel
len Brüche finden lassen, die den gleichen Factoren entsprechen.
Es sey
V—Q(x — a) ,n ;
setzen wir:
U_ N N x N 2 N m _, P
V (x — a) 1 “ “ (x — a)“-» ‘ (x—a) m 2 * "’ r x— a ‘ Q
(§. 173.), welche Form durch die Bestimmung der Unbekannten
bewahrt werden wird. Bringt man beide Seiten auf einerlei
Benennung, so erfolgt,
V = Q [N + N , + (x—a) + N 2 (x — a)2...-s-Nm-r (x—a)®“ 1 ]
4~P(x — a)“,
17-Q [N + N x (x-a) + N a (x-a)«...+ a)"^«].
(x — a) ul ’
und da P eine ganze Function seyn muß, so muß der Zähler
seines Ausdrucks ounal nach einander durch x— a genau theil-
bar seyn: es wird dieser Zähler also verschwinden, wenn man in
ihm x in a verwandelt. Man bemerkt zunächst, daß dieser Zäh
ler in diesem Fall in 17 — QN übergeht; allein, damit 17 — QN
durch x — a genau getheilt werden könne, muß man, u — q N
= o, oberN = ^-, haben, wenn man die Bezeichnungen des
vorhergehenden §. beibehält.
Jener Werth von N verwandeltU — QN inU — -Q, wel
cher Ausdruck, da er sich durch x — a theilen läßt, die Form,
171 (x — a), annimmt, wenn 17, den Quotienten bezeichnet, und
die Aufhebung, das den beiden Gliedern des Ausdrucks von P
gemeinschaftlichen Factors x — a, giebt: