höherer Ordnung.
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s (Ilm 2 — S m -j- T) =: o ;
mithin wird sie vermöge der Gleichung (A), unabhängig von den
Größen o) und s, befriedigt.
Der oben bewiesene Lehrsatz, so wie jeder analoge bei den
höhern Ordnungen, hat nicht dieselbe Allgemeinheit wie derjenige
des §. 347.; denn es ist wohl zu bemerken, daß die Gleichungen
(1) zu gleicher Zeit die fünf Veränderlichen x, j, z, p und
q enthalten können, und daß, wenn man auch die Gleichung
dz — pdx -J- qtly zu Hülfe nimmt, die Elimination nur zu einem
Resultate mit drei Veränderlichen gelangen läßt, welches mithin
nur unter gewissen Bedingungen (339.) von einer primitiven
Gleichung herrühren kann. Man würde aber irren, wenn man
hieraus die Folgerung zöge, daß jede gegebene partielle Differen
tialgleichung, bei welcher die erwähnten Bedingungen nicht er
füllet werden, auch von keiner einzelnen primitiven Gleichung
abgeleitet seyn könne. Allein um hier zum gesuchten Integrale
zu gelangen, muß man zu andern Verführungsweisen seine Zu
flucht nehmen, und am öftesten gelangt man nur zu einer Ent
wickelung in einer Reihe, wie wir später sehen werden (352, 353).
§. 351.
Zum Beispiele diene die Gleichung
Ar + Bs-f-Ct = V,
wo A, B und C konstant sind und V eine Function von X und y
ist. Die Gleichung (A) wird hier
Am 2 — Bm-j-C = o.
Da ihre Wurzeln, welche ich mit m', m" bezeichnen will, con-
stant sind, so liefern sie zwei Gleichungen-Systeme (1), welche
durch die Integration geben:
y — m'x — a )
Am'p -j- Cq ■—- m'/Vtlx = b j '
j— m"x = a'\
Am"p + Cq — m /, / > V r dx=:V) '
wo das Integral /Vdx nur von einer einzigen Veränderlichen
abhangt, weil man j vermittelst ihres aus der ersten Gleichung
eines jeden Systems entnommenen Werthes aus V fortschaffen
kann: man hat also zu gleicher Zeit die beiden ersten Integrale der
gegebenen:
Am' p -j- Cq — m' sVclx = (p (j — in' x)
Am"p Cq — m"y* VdX — Xp(y — m"x) ;
und integrirt man eine beliebige unter diesen beiden Gleichungen,
so gelangt man zum zweiten Integrale. Nimmt man die erste
z. B. in Anspruch, so giebt diese
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