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Partielle Differentials l eich urigen 
z t= Ae mx + ra3 y A J e 1 « 1 X + H1 i 2 y A 2 e 111 2 x + m 2 2 y -j- :c., 
welcher Reihe man so viele Glieder verschaffen können wird, als 
man will. 
Hätte man m zur Unbekannten gewählt, so wäre erfolgt 
m=±Y~n und z = Ae ±xt/ ~ l + n J, 
woraus man für 2 zwei dem Anscheine nach verschiedene Reihen 
nämlich 
z=zAe xl/ ' n+u y -J-A 1 e x ^i+ n iy-j-2C. 
z = Ae-^n+ny-j- A, e-*^%+ n »y + re. 
ableiten konnte; allein diese Resultate sind nicht allgemeiner als 
das erste, weil man der m eben so gut negative als positive Werthe 
geben kann. 
§. 353. 
Laplace war anfangs der Meinung gewesen, die gegebene 
Gleichung könne in ihrem Integrale keine willkürlichen Functionen 
zulassen; Paoli hat zuerst das Gegentheil erkannt, als dieses 
Integral nach den Potenzen von y in eine Reihe entwickelt war. 
In der That setzt man 
z =■ P -s- Qy -j- Ry 2 + Sy 3 + rc., 
mV, Q, R, S Functionen vonx bezeichnen, so erhält man 
d 2 z d 2 ? . d 2 O . d 2 R , 
di3 = ar> + sr y +d? y 
. ■ 4- w 
dx a r dx 2 
dz 
Q -|-2Ry -k- 3Sy 2 
+ K. 
ff-rc., 
woraus man schließt 
x dx 2 ' 2 dx 2 2 dx 4 ' ' 
und da Nichts V bestimmt, so kann man P einer willkürlichen 
Function von x gleich annehmen: man hat also 
2 — P (x) -s- $"(x) ? + cp lv (x) ^-ffrc., 
W0 $"(x): 
.iw fC ,v/ X '| _ d vw 
' dx» ' 9 W — dx* ' 
Entwickelte man das Integral nach Potenzen von x, indem 
man setzte 
z = P -f- Qx -{- Rx 2 -f- Sx 3 -f*rc., 
wo P, Q, R, 8, rc. alsdann Functionen von j bezeichnen, so 
würden die beiden ersten (Koefficienten P, Q unbestimmt bleiben, 
und man könnte also in den Ausdruck von 2 zwei willkürliche