höherer Ordnung.
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Constanten einführen ; allein H. Poisson hat gezeigt, daß dieses
zweite Resultat nicht allgememer wäre als das erste, und daß
derselbe Umstand bei jeder Gleichung eintrifft, welche nicht zu
gleicher Zeit die beiden Differential - Coefficienten von ihrer Ord-
nung bezogen auf x allein und auf y allein enthält.. *)
§. 354.
Das Vorhergehende reicht hin, um zu zeigen, daß man keine
vollständige Analogie zwischen den willkürlichen Functionen, die
in den Integralen der partiellen Differentialgleichungen vorkommen,
und zwischen den Constanten in den Integralen der gewöhnli
chen Differentialgleichungen (298.) anerkennen dürfe. Die An
zahl der ersteren ist nicht immer gleich dem Exponenten der Ord
nung der gegebenen partiellen Differentialgleichung.
Diese Bemerkung kann direct bei der Elimination der will
kürlichen Functionen zwischen den primitiven Gleichungen und
ihren partiellen Differentialen (140.) gemacht werden. Denn
es sey
U — o
eine Gleichung, welche nebst den Veränderlichen x, y, z zwei
willkürliche Functionen s/)(8), ip(t) bei in x, y, z gegebenen
Größen s und t enthalten; geht man zu den ersten und zweiten
Differentialen über, nach den Vorschriften in §. 137., so findet
man fünf neue Gleichungen, nämlich
du, du
d 2 u d 2 u d 2 u
d 2 (jp(s)
ds 2
<(-),
d 2 ch(t)
"dt 2 "
ip’X t).
Man hat also sechs unbekannte Functionen d. i. just so viele
als Gleichungen vorhanden sind, zu eliminiren, welches nur in
dem Falle gelingen kann, wo wegen der besondern Form der Glei
chung u — o, zwei jener Functionen zugleich verschwinden werden.
§. 355.
Die willkürlichen Functionen, welche in den Integralen der
partiellen Differentialgleichungen vorkommen, werden dadurch
*) S. bea „Traile etc.“ i» 4to. B. II. S. f>39.