Note über die Logarithmen. 
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so daß _ 
ly ==«*(- 2mnr —1. 
II. Um jene Wurzeln zu finden, hat Euler, welcher sie zuerst ent 
deckte, einen sehr sinnreichen analytischen Kunstgriff angewandt, welcher 
aus dem in §. 188. bewiesenen Satze beruht, daß die Wurzeln der Gleichung 
y n —l = o folgende sind: 
2tnn . y . 2 m 7i 
y = cos -ß- Y —l sin » 
n ii 
Man muß zuerst bemerken, daß 
( z\ n Z . n—1 z a 
t+ nh 
l+ 1^1.2n T 1.2.3 2 
für ein unendlich großes n 
; 1 4 U 
T 1 T 1.2 
1-- (l-")(l--) 
n 2 , \ n/ \ n/ 
——:r z + 1 
1.2.3. 
z J + K» 
1 -I 1 1- 
11.21.2.3 
+ K.; 
zur Grenze hat. 
Dieses vorausgesetzt kann die Gleichung 
c z — l = o durch 
die Grenze von (l + £) n — 1 —o 
ersetzt werden; und substituirt man 1 -i- - für y, so erhalt man nach dem 
Obigen 
, . 1- 2rn7T - . 2ni7T 
I -r = cos + V —1 sin : 
n n n 
nimmt man hierauf die Grenzen in Bezug auf ein unendlich großes u, wo 
cos und sin^^rcspcctive 1 und werden müssen, so erhalt man. 
wie oben, indem m immerhin als endlich anzusehen ist, 
z=2m Ti —1, 
Um diese Grenze recht deutlich zu sehen, setze man für COS und 
slu ihre Entwickelung (37), wodurch nach den Vereinfachungen erfolgt 
z 
+ K. + V— 1 
8m 5 7ï 3 
2.3.11- 
was sich für ein unendlich großes n auf 
z = l im.nV—i reducirt. 
III. Es mag nicht unnütz seyn zu bemerken, daß sich die Zerlegung 
in Factorcn von j n —1, worauf sich das Vorhergehende stützt, auf eine 
von den Betrachtungen in H. 187. unabhängige Weise erlangen läßt. Fol 
gendes ist der Weg von Lagrange« 
Addirt man die Gleichungen