23G 
Noce über die Logarithm err 
cos (a 4* 1) z = cos z cos nz — sin z slu az, 
cos (n—1) z cos z cos nz 4* sia z sin az, 
so geben dieselben 
cos (b + 1) z 4* cos (n —-1) z = 2cos z cos »z, 
woraus man zieht 
2 cos (a + 1) z = 2cos z . 2 cos nz — 2 cos (n — 1) Z» 
Setzt man hierauf 
2 COS z = y+ — 
y 
und ersetzt n nach und nach durch 1, 2, 3 re., so erfolgt: 
2 cos 2z — (y + ^) —2 = y s + i, 
2co S 3i=^ + !)^ + i)-^y+ ‘)=J S +p 
2 cos 4z = (j + i) (y ä + ~) - (2 +p) = J* + Ji 
rc., 
woraus man zunächst nach der Analogie schließen kann, daß 
r 
2 COS BZ = y n 4“ ■— . 
Um sich aber hiervon völlig zu erzeugen, reicht es hin einzusehen, daß 
wenn das bemerkte Gesetz für die Zahlen n—1 und n Statt findet, das 
selbe nicht minder für n + l gültig ist. Macht man aber 
1 1 
2 cos (a— 1) z — y 11 1 4- , 2 cos nz = y 11 4- ~ , 
y y 
so geht daraus hervor 
2 cos (a 4.1) z — ^y 4- ^ 4- — (y^ 1 + ^T=i) 
1 
+ yS+7' 
worin wiederum das angenommene Gesetz hervortritt, und der Wewers 
liegt, daß, wenn man von a — 1 und n—2 ausgeht, dasselbe Gesetz 
auf alle ganzen Zahlen ausgedehnt werden könne. 
Hieraus folgt, daß die Gleichungen 
1 n 1 
2 cos z = y4--, 2 cos uz = \ 4* ~Z i 
y y 
welche einerlei sind mit den folgenden 
y 2 —2ycosz4-l=o, y 2n —2y n cos az 4* 1 = =: o 
ZU gleicher Zeit Statt finden und folglich eine gemeinsame Wurzel haben. 
Bezeichnet man diese aber mit a, macht hieraus y==i, und reducirt alle 
Glieder jeder Gleichung auf dieselbe Benennung, so wird man finden, daß 
sie zugleich durch diesen neuen Werth befriedigt werden; und da die erste 
Gleichung nur vom zweiten Grade ist, so folgt, daß sie einer der Facto 
re» der zweiten ist.