Note ü>er die Logarithmen 
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Macht man jetzt 
so erfolgt 
cos nr 
und mithin wird die Gleichurg 
. 2mn 4* $ 
= cos o , z = f 
die folgende 
y 2,1 — y 11 cos J 1 4* 1 — o 
.2 
2ni7r + J 
2y cos — 4* 1 == o 
zum Factor haben, welche ganze Zahl man auch für m fubstituiren mag. 
Somit haben wir also wieder die Formel in §. 191. 
Um hieraus diejenigen in §.190. abzuleiten, reicht cs hin, 6=. o und 
<y = 7T ju macheu. Zn dem ersteren Falle hat man: 
cos<? — 1, y 2n — 2/4- l = (y n —l) 2 , und hierauf 
•n »n 2rn7T 
y — 1 = e, y —2y cos 4» 1 = o» 
Zn dem zweiten Falle hat man: 
cos S =s— 1, y 2r 4-2y n 4-l ===(y n 4-l) 2 , und hierauf 
n , , 2 _ (2m 4-1)71 , . 
y 4* 1 = o, y 2 — 2y cos 4* 1 = o 
wie in dem erwähnten Pmagraphen. 
TV. Vermittelst des Ausdrucks 
z= 2m7iV^—x 
der imaginären Wurzeln !>cr Gleichung 
G' — 1 = O 
erklärt man befriedigend mehre Schwierigkeiten, welche die Anwendung der 
Logarithmen auf negative Zahlen darbietet, unter andern die folgende: 
Weil (—a) 2 = (4-a) 2 =a 2 , so ist 1 (- a 2 )^1(a2), also 
21 — a — 21 4-a, oder 
I — a =£ I 4" a. 
Allein dieser letzte Schluß stimmt nicht mit der Gleichung y = e x ; cs kann 
nie irgend ein reeller Werth von x y negativ machen; also können die 
negativen Zahlen keine reellen Logarithmen haben. Dieses wird auch durch 
die Gleichung 
zV^—i =a 1 (cos z 4" —1 sin z) 
bestätigt, in welcher man 
z = (2m 4* 1) TT 
machen muß, um 
cos z =s 1 
Zu erhalten, woraus hervorgeht 
1 — 1 = (2m 4* 1) n —1; 
und bezeichnet man den reellen Logarithmus von a durch a, so erfolgt 
1 — a = a 4-1 — l = a + (2m 4- 
welche Formel gar keinen reellen Werth giebt, weil m immer eine ganze 
Zahl sein muß (188).