238 Note über doppelte bestimmte Integrale rc.
Indessen ist es wahr, daß die Ausdrücke 21 4- a und 21 —a einen
Theil von la 2 ausmachen, allein ohne deßhalb gleich zu seyn. Denn wenn
K der reelle Logarithmus von a ist, so wird derjenige von a 2 , 2a seyn
und alle (sowohl relle als imaginäre) Logarithmen von a 2 werden in dem
Ausdrucke 2a + 2mnV^—1 begriffen seyn, wo in gerade oder ungerade
seyn kann. Zn dem ersten Falle wird in eine doppelt gerade Zahl seyn,
und folglich wird der obige Ausdruck übereinstimmen mit
21.4* a = 2« + 2 ♦ ¿luVZUJ : *)
in dem zweiten Falle, wenn 2rn bloß einfach gerade ist, wird der Aus
druck von 1a 2 Übereinstimmen mit
2l — a = 2a + 2 (2m 4* 1) V^-V *) ;
allein die Ausdrücke
2a-*r2.2m.nV—\, 2c: + 2 (20^+1)^—1
können nicht übereinstimmen, weil die angezeigten Zahlen in der einen
doppelt und in der andern bloß einfach gwade find.
Note CC)
über die doppelten bestimmten Jntegnle, deren Differential-
Coefficient zwischen gegebenen Grenzen unendlich groß wird,
und über die singulären Integrale.
I. Man hat im §. 271. gesehen, daß das Resultat der auf einander
folgenden Integrationen in Bezug auf zwei Veränderlichen, im allgemei
nen von der Ordnung unabhängig ist, in welcher diese Integrationen
vollzogen werden. Man kann sich auch, vermittelst des in der Note zur
Seite 78 gegebenen Ausdrucks , dadurch von diesem Umstande Rechenschaft
geben, daß man die Integrale als Summen von Elementen betrachtet.
Zn der That sey das doppelte Integral
sszdxdy
zu suchen, wo z — s(x, y), und seien die Grenzen in Bezug auf X, a
und a' und diejenigen in Bezug auf y, b und b'. Beginnen wir mit der
Integration in Bezug auf x, machen
a = a 4- n«,
und schreiben der Kürze wegen f (m, y) anstatt s (a 4* m«, y): so erhalten
wir nach der angezogenen Note
sl zdx ~ K { s (°,y)4" f ( 1 ,y) * ♦ • + f(n—
Multiplicirt man jetzt beide Seiten mit dy und integrirt von y = b bis
y —b', indem man
b' =3 b 4* pt<
*) Vor y*—■! sind die Tt aus Versehen ausgeblieben.
B.