240 Note über doppelte bestimmte Integrale rc. 
einfließt; auch gelangt man Zu zwei verschiedenen- Resultaten, wenn man 
die Integrationen in verschiedener Ornung annimmt. 
Um sich hiervon zu überzeugen, muß man bemerken, daß wofern man 
u = arc ^tang = 
macht, alsdann erfolgt 
du 
da 
X , 
dx ot 2 4* y 2 r dy x 2 + y 2 f 
u v2 X 2 
did^ = (x2 +y2)2 — Z OM» 
Hieraus folgt, daß wenn man mit der auf x bezüglichen Integration be 
ginnt, im allgemeinen zum Vorschein komme 
r , /^d 2 u du x 
/= y àn 
dy 
und nun erhält man von x = a bis x —a' 
X 2 + y 2 ’ 
9* 
a 2 + y 2 a a +y a * 
Geht man hierauf über zu 
"da , Y~ a'dy 
„= s^iv= — /-L. 
J dy 1 J a 2 +y 2 J a a +y* 
= are ^tang = — are ^tang = 
und beachtet die Grenzen b und b’ dieser neuen Integration, so findet man 
zum letzten Ausdrucke 
( d'x ( b\\ 
are (lang = —A — are (lang = -, 1 1 
/ b'N , / b\ r 
— are i lang = —J + are ^tang = - j t 
Verfährt man in umgekehrter Weise, so erhält man nach und nach: 
/zdy==y^j 
woraus; 
d 2 u 
dxdy 
b' 
dy ; 
du 
dx 
b 
‘x 2 +y 2 ' 
x 2 4-b' 2 x 2 +b 2 ' 
“du . b’ dx 
"=/r>=-/^*/s 
bdx 
und endlich 
b'2 4- x 2 ' J b 2 +X a 
= — arc ^tang ----- ^ + arc (rang = , 
—■ arc ^tang ----- ^ + arc ^tang — ^ ) 
4* arc ^tang = ^ — arc ^tang=-^ i 
Es ist nicht schwer zu zeigen, daß die beiden vorhergehenden Resultate 
in ihrem allgemeinen Zustande identisch sind; allein macht man 
a 5=s —— 1 f a -1 / b ^ 1/ 1) —*• 1 /