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242 Note über doppelte bestimmte Integrale re. 
ss\ 
+ 
nicht Statt finden, obschon die Function 
dxdy 
sich unter der Form 0 darbietet, wenn man in ihr X----0, y-----a macht, 
Md nach der Ordnung 'der Substitutionen zwei verschiedene Werthe an 
nimmt, weil sie, da diese Werthe endlich sind, bei diesem Umstande nur 
ein unendlich kleines Element enthält. 
III. Da der Unterschied der erhaltenen Werthe bei geänderter Ord 
nung im Zntegriren nur von dem einzigen zum Ursprünge der Veränder 
lichen gehörigen Elemente herkommt, so berechnet M. Cauchy dieses insbe 
sondere, wie auf-folgende Art geschehen kann. 
Es sey P(x, y) der allgemeine Ausdruck für /zdx, wenn z für 
zwischen den Grenzen a und a', b und b' enthaltene Werthe von x und y 
unendlich groß wird; bezeichnet -man den Werth von x durch a und stellt 
k eine sehr kleine Größe dar, so wird das in dem kleinen Zwischenräume 
von «— k bis ß + k genommene Integraly*zdx 
V (« + k, y) — (p 0 — k, y) 
werden und in der folgenden von y = b bis y = b' vollzogenen Integra 
tion den Theil 
dy |(/3 O + k, y) — yO—• k, y)| 
geben, welcher um so naher daran seyn wird, die einem einzigen Elemente 
entsprechende zu seyn, je kleiner k angenommen würde. 
In dem Beispiele von is., wofür 
, > k 
?>( x / y) = ~ « = o, 
x 2 +y 2/ 
wird der oben gefundene Ausdruck 
s~i h + f+7) 
: 2 arc ^ lang = ^ — 2 arc ^ taug■== — . 
kdy 
Macht man k=o, um zur Grenze überzugehen, so hat man 
2 arc Ong ----- Unendlich) — 2 arc (rang = — Unendlich) 
27t . 2tt , 2?r 
= i + -2 + T' 
just der im angezogenen §. gefundene Unterschied.