Binomische Differentiale.
Verwandelt man hierauf, in der oben erhaltenen Lransformirten
in 2, n m — n, a in b, b in a und m in m 4- : so erhält
man dadurch den Ausdruck
welcher rational wird, wenn
eine ganze Zahl ist.
Man wäre unmittelbar hierzu gelangt, wenn man
L = zqi, oder, was hieraus folgt, a + bx n = x n z<i, gemacht
hatte, welches die Transformation ift^ deren sich Euler bediente.
§. 193.
Da es nicht möglich ist, das Integral
/x ,n— *' d X (a -f- b x n ) p
allgemein zu bestimmen, so verfallt man zunächst darauf, dasselbe
auf die einfachsten Fälle zurückzuführen zu suchen.
Man gelangt hierzu sehr leicht, vermittelst der Integra
tion durch Theile, eines fruchtbaren Verfahrens, welches dazu
dient, ein Integral auf ein anderes zurückzuführen. Es erfolgt
dieses Verfahren aus der Integration der beiden Seiten der Glei
chung,
d.uv^udv + vu (i),
wodurch man erhält: uv=/udv +/Vdu, und folglich:
)9 fx dv = uv — Jv d u".
Man sieht hieraus, daß, wenn sich die Function X., im Diffe
rential Xdx, so in zwei Factoren P und y zerlegen läßt, daß
man das Differential Qdx ju integriren vermag, und man
sQ dx mit v bezeichnet, folgende Relation Statt findet:
„sX. d x —sP Q d x = P v —sv d V ie ,
wodurch das erste Integral auf das letzte zurückgeführt wird.