Binomische Differentiale. 
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§. 194. 
Um die Resultate der Anwendung des Vorhergehenden auf 
die Formel 
L 
d x (a -f- b x n )y 
etwas abzukürzen, will ich p, statt -, schreiben, wo also p für 
eine beliebige gebrochene Zahl anzusehen ist, so daß wir es nun 
mit der Formel 
d x (a -J- b x n )P 
zu thun haben. 
Unter den verschiedenen Arten, das Differential 
x™—i d x (a -|- b x n ) p 
in Factoren zu zerlegen, hebe ich diejenige hervor, welche dazu 
dient, den Erponenten des außerhalb der Klammern befindlichen 
x zu vermindern, weshalb ich folgende Form, statt der gegebe 
nen, einführe: 
/x m ~ a x u 1 d x (a -f- b x") p . 
Hier ist der Factor x a ^ d x (a -}- b x n ) p integrirbar, was auch p 
seyn mag (§. 170.): bezeichnet man sein Integral mit v, so har 
(H _I_ b x iAp-}-i 
man v — i j n g-, und da das obige P hier x m “ n ist, so 
erfolgt: 
yk ra_1 d x (a + b x n )P =s 
x m -n -j- b x n )P+ l m — n 
allein 
(p + l)nb (p-fi)nb 
/xm-a+i d x (a + b x n ) p+1 ; 
/x m 11 *dx (a -s- bx 11 )P+ 1 = s x m-n-i dx (a -j- bx n )P (a -}- bx n ) = 
a/x m 1 dx (a + bx) 1 ' p -}- bsx™-— 1 d x (a + b x n )P; folglich giebt 
die Substitution und Reduction: 
)/ xm ~ 1 d x (a + b x")p — 
x ra ~~n (g _j_ bx'OP^ 1 — a (m — n)sx m '" n__1 d x (a -j- b x n )P 
(p +1) nb ' 
woraus man endlich ableitet: 
, jsx ra 1 dx(a + b x a )P = 
x“- n (a-}-b x a )P+ l — a (m — n)/x m d x (a -f- b x a )P (i 
b (p n -j- m) 
Es ist leicht zu sehen, daß, da das Integral /k m ~ 1 dx (a4-bx 11 )p 
auf /x“^“ 1 d x (a+b x n )v> zurückgebracht werden kann, dieses 
letztere sich auch auf /x m ~ 2u -* dx(a + bx a )p zurückführen laßt,