Binomische Differcn tiale. 
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abhangen laßt, worin m das größte ittn-i enthaltene Vielfache 
von n und s die größte in p enthaltene ganze Zahl bedeutet. 
So wird z. B. das Integral 
yk 7 dx(a + b x 3 )k 
durch die Formel (A) nach und nach auf 
yk 4 d x (a b x 3 )^, sx d x (a -j- b» x 3 ) T , 
zurückgeführt; worauf das letzte Integral, vermittelst der Formel 
(B), nach und nach von 
Jk (1 x (a -J- b x 3 ), yk d x (a -J- b x 3 ^ T , 
abhängig gemacht wird. 
tz. 196. 
Es leuchtet ein, daß die Formeln (A) und (B) nicht mehr 
ihrem Zwecke entsprechen, wenn m und p negativ sind, 
weil sie die Exponenten des außerhalb der Klammern befindli 
chen x und des Binoms vergrößern. Allein durch Umkehrung 
der Formeln (A) und (B) gelangt man zu neuen Formeln, die 
bei dem fraglichen Falle Anwendung gestatten. 
Man zieht aus (A): 
j x m 11 1 d x (a -|- b x n )P = 
X m i 1 (a -f- b x n )P+ x — b (m -f- n p) f x m — 1 d X (a -J- b x n ) p 
a (m — n) 1 
verwandelt man hierauf m in — m n, so gelangt man zu der 
den Exponenten, des außerhalb der Klammern befindlichen x, 
vermindernden Formel: 
9> sx— m — 1 d x (a 4" b x ll )P = 
x~ :m (a-j-bx n )l , ' t ' 1 -|-b(m —n—np)yk“ m + n “ 1 dx(a-f-bx n )P 
— (L>) 
a m 
Man zieht aus (B): 
s x m—1 d x (a -j- b x n )p = 
x ,n (a -f- b x n )P — (m + n p) fx m ~ l d x (a -|- b x n )P 
p n a 
verwandelt man hierauf p in — p +1, so erfolgt die den Expo 
nenten des Binoms vermindernde Formel: 
yjjk m 1 d X (a -j- b x")-P = 
X 1U (a + b x n )“P+ 1 — (m + n — np)yk“ -1 dx(a-|-bx n ) — ^ 
_____ C ) 
Die Formeln (A), (B), (C) und (D) werden unbrauchbar, 
wenn ihr Nenner verschwindet, wie dieses z. B. bei (A) Statt 
findet, wenn m = ~np. Allein in allen Fallen, die hierhin