Reihen.
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Es sey ferner die Function
3 a 3 4 a'
-j-rc?
a 2 -j-x a
gegeben; da ihre Entwickelung folgende ist,
<¡0.'
so giebt die Integration der einzelnen Glieder
/* atlx x X 3 x s X 7 , ,
J + + 2C.-J- const.
Allein man weiß anderwärts, daß
y f dx
*adx
a 2 4- x a
+ x 5
Folglich giebt die Vergleichung
( x\
arc. (lang =- j
. ^tang — const. (§, 30.).
X 3 . X s X 7 . .
4 7 : + rc. 4- const.
1 5 a 5 7 a 7 1
3 a
Will man durch diese Gleichung den Werth des kleinsten Bogens
angeben, dessen Tangente ^ ist, so muß man die Constante ver
schwinden lassen, weil der gesuchte Bogen zugleich mit x verschwin
det. Somit erhalt man also, wie im §. 38.,
( X\ X X 3 ,
tang:r= _j = ä - —4-
„arc. ^tang
Entwickelt man zuletzt
3 a 3 7 a
so findet man auch bald
y ~X m dx X m +*
a n_j_ x u (m-J-i)a"
a n 4~x n '
x m+u+i
x m-s-2n->-l
(m 4~ n 4“ 1 ) a2n (m 2 n -f-1) a 3n
— rc. 4“ const,
§. 203.
Da man bei der Integration durch Reihen zum Zwecke hat,
sich genäherte Werthe derjenigen Integrale zu verschaffen, die sich
nicht genau finden lassen; so ist es von Wichtigkeit, für den Aus
druck desselben Integrals mehre Reihen zu gewinnen, damit man
diejenige auswählen könne, welche, für den Werth, den man dem