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Logarithmische Functionen.
Ist n> <L-r — », so ist obige allgemeine Formel nicht mehr
brauchbar: allein macht man lx---n, so hak man
/ d x * ,
— (1 x) n ==/cl u. u w == const., mithin:
■i /*•
(lx)«=X-—r—
x n-|- x
(lx) n +* -j- const.;
d x
dieselbe Transformation dient auch dazu, das Differential — U,
worin ü eine algebraische Function von Ix bedeutet, in ein alge
braisches zu verwandeln.
Wenn n negativ oder eine gebrochene Zahl ist, so wird die
obige Reihe unendlich; man mache z.B. so erfolgt:
"s^dx x m + l ( i x r. 3
s
T ix m + l
(lx) T a(m+i)CIx)
, 1.3.5
8 (m + x)3 (Ix) 1
4(m+i) 2 (lx) T
- -f* 2C.( -j~ const.
§. 209.
Um den Exponenten von Ix, wenn er negativ ist, d. i. im
Differential
K m dx
(ix) 11 '
zu vermindern, so muß die Forme! (a) des §. 207. benutzt wer
den, durch welche man findet:
''’x" 1 d x x m + l , m i /” x m d X
/
m I 1 s -
n —- \J (
(lx) u (n— i) (lx) 11-1 1 n~x^/ (1 x) u ~ 15
wiederholt man diese Reduction; indem man n in n—x, n—2, rc.
verwandelt, so erhalt man bald die allgemeine Formel:
'x w dx x m+l (m -s-1) x m +*
/;
(lx) n (n— i) (lx) 11 -“ 1
(m + i) !: x 1 P+ 1
(n—1) (n •— 2) (ix) 11 --
(tn-f-l) 11 “ 1 ^-x ,n dx
(u — x)(n—2)(n—3) (lx) u —3 (n—i)(n—2)...x^/ Ix '
wenn n als eine ganze Zahl angenommen wird.
Wenn m zsa — x, so erfolgt aus der vorhergehenden allgemei
nen Formel:
/ dx 1
Jf x(lx) n (n - l)(lx) 11 — 1 '
Wenn n == i, so wird diese letzte Formel unbrauchbar: allein