Kreis, Functionen.
Von der Integration der Kreis-Functionen.
tz. 216.
Benutzt man die Gleichung (i) des §. 207., und bemerkt,
dx
daß d.arc (sin=ax)= (§. 36.); so findet man:
/ x «dxarc(s; 0 =i)=— aro (sin J ^== ;
/•Tn+i dx
und J ~ wurde schon früher in den §§. 197. und 198.
behandelt.
Dieses Beispiel reicht hin zu zeigen, daß
/Pzdx,
wenn z einen Kreisbogen und x eine beliebige diesem Bogen ent
sprechende trigonometrische Linie bedeutet, immer auf das Integral
eines algebraischen Differentials zürückführbar ist, wenn /Pdx
einer algebraischen Function der Veränderlichen x gleich ist; denn
die Differentiale des Bogens 2 sind auch algebraische Functionen ■
seiner trigonometrischen Linien x (36).
Nimmt man wiederum an, x sey der Sinus des Bogens 2,
so erhält man durch die Gleichung (1):
. . „ xdx
sz n d x — x z 11 — nsz n—1
u. s. f., woraus man schließt:
sz n dx: = 2 11 x + nz 11—1 Y' 1 — x a — n (n—1) z n ‘~ 2 x
— n (u — 1) (n — 2) 1 — X 2 +2C.,
welche Reihe schließt, wenn n eine ganze positive Zahl ist.
Hatte man Pdx = dz, so würde das Integral
sF z n dx
übergehen in:
es kommt nur darauf an, ein solches u zu finden, daß du+xdu
-udx = e s xdi. Da min bekannt ist, daß clu=5udx, wenn
u = e x : so führt dieses sehr bald zum Ziel.
B.