Genäherte Werthe.
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meinheit zu ertheilen, die es zuläßt, zeiget, daß diese Functionen
auf doppelte Art unbestimmt sind, weil eS zur Bestimmung ihrer
Werthe nicht hinreicht, den Werth der Veränderlichen festzusetzen,
wovon sie abhangen, sondern auch noch ihre Constante bestimmt
werden muß, welche alle möglichen Werthe zulassen kann. Man
bestimmt diese Constante gewöhnlich dadurch, daß man vom
Integral erheischt, daß es für einen gegebenen Werth von x
verschwinde. Man hat schon mehre Beispiele hierüber gesehen
(187, 202, 203) und es kommt dies im Allgemeinen auf Fol
gendes zurück.
Wenn /Xclx—f(x)-J-C, wofern f(x) die durch das Inte
grations-Verfahren unmittelbar abgeleitete veränderliche Function
und C die willkührliche Constante bedeutet, und wenn für den
Werth x — a das Integral verschwinden soll, so stellt man die
Gleichung f(a)-J-C = o auf, woraus man C =— f(a) und
/Xdx=f (x) — f (a) ableitet. Unter dieser Form ist das Integral
/Xclx nur noch der Unterschied zwischen dem Werthe den f(x)
annimmt, wenn x —a, und demjenigen, den f(x) bei jedem
andern Werthe derselben Veränderlichen x annimmt. Bei x — b
z. B. erhält man
/Xdx = f(b)_f(a).
Es ist zweckmäßig zu bemerken, daß man dieses Resultat
unmittelbar gewinnt — ohne daß es nöthig sey die Constante zu
bestimmen — wenn man nur den Unterschied der den Werthen
x—a und x=b entsprechenden Resultate f(a)-j-Cimb f(b)-j-G
darstellet.
Der Werth x=a, hei welchem das Integral verschwindet,
ist dessen Anfang, und man sagt alsdann: das Integral
fangt an mit x — a. Da derjenige Werth des Integrals,
womit man schließt, dem x — b entspricht, so sagt man: das
Integral ist vollständig, wenn x— b.
Die beiden Werthe
X — a und X —b
werden gemeinschaftlich die Grenzen des Integrals genannt.
Jedes angedeutete Integral, dessen Anfang, oder dessen Gren
zen unbestimmt gelassen werden, heißt ein unbestimmtes In
tegral, und muß, um vollständig zu seyn, eine willkührliche
Constante enthalten.
Sind die Grenzen des Integrals bestimmt, so heißt es ein
bestimmtes Integral. Sind die Grenzen z. B. x — a und
x —b, so sagt man: das IntegralsXäx muß zwischen
den Grenzen x — a und x —b genommen werden;
und dieses erreicht man dadurch, daß man nach und
nach den veränderlichen Theil desIntegrals unter
der Annahme von x=a und von x = b berechnet und