Genäherte Werthe. 
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ist K’iicn 
traben, daß 
: X lind in 
§. 232. 
Jede der beiden vorhergehenden Formeln kann in's Besondere 
angewandt werden; allein ihre Vergleichung laßt die Grenzen 
ihrer Näherung auffinden. 
Um diese Vergleichung anzustellen, muß zuvörderst bemerkt 
werden, daß in jeder Reihe von der Form 
IVltt-s- Nß J -|-Pa 3 -s- k, , 
worin keiner der Coefficienten AI, N, P re. unendlich groß wird, 
und worin man ct so klein annehmen darf, als man will, und deß 
halb auch ein beliebiges Glied größer machen kann als die Summe 
aller folgenden Glieder (§. 62.), der Irrthum, welchen man be 
geht, wenn man sich auf eine begrenzte Anzahl der ersten Glieder 
beschränkt, ein anderes Zeichen haben wird, als das nächste der 
vernachlässigten Glieder, d. h. daß das Resultat zu stark seyn wird, 
wenn jenes Glied negativ, und das zu schwach, wenn es positiv ist 
Es folgt hieraus, daß wenn die Werthe der Function X ven 
x —3 bis x — b zunehmen, und man sich bei jeder der beiden 
Formeln auf die mit dem bloßen a multiplicirten Glieder beschränkt, 
die erste zu wenig und die zweite zu viel geben wird. Denn wenn 
die Reihet, A t , A a/ rc. steigend ist, so sind alle entsprechen 
den Werthe A', Aff, Aff, rc. des Differential - Coefficienten 
~dx positiv (§. 62.), weßhalb die mit a s behafteten Glieder in der 
zweiten negativ seyn werden. Man wird also haben : 
/ ^Xdx a -j~ A a —J—.... + A n _j) und 
A a -f- A 3 A n ). 
Ueberdieß wird der Unterschied a(A n — A) der beiden letzten 
Größen desto kleiner werden, je kleiner man a annimmt, welches 
Letztere man dadurch bewirkt, daß man die Anzahl n vergrößert, 
ohne A und A n zu ändern, welche den dem x angewiesene Gren 
zen a und b entsprechen. 
Es ergiebt sich hieraus, daß jede der beiden Summen, zwi 
schen welchen 
/Xdx 
enthalten ist, dem wahren Werthe dieses Integrals so nahe als 
möglich gebracht werden kann, weßhalb sich das Integral als 
eine Summe von Differentialen ansehen läßt, weil die Products 
Aa r A y a, rc. nichts Anders sind, als diex—a, —rc. 
entsprechenden Werthe von Xdx, worin a die Stelle von dx ein 
genommen hat. 
Dieser Schluß, welcher bald durch geometrische Betrachtungen 
bestätigt werden wird (236.), setzt voraus, wie man sieht, daß