92 Summation beliebiger Stücke der Taylorschen Reihe. 
/“Hdb": 
1.2...(n—l) 
|h«-/Hdh- 
(n-—l)b n 
■/Hbdb 
(n—■!) (n—2)h n ~3 
1.2 
-/Hh 2 db —2c.|; 
und es ist leicht zu sehen, daß man für die letztere Reihe den 
Ausdruck 
7 /H(t~h)»T*dh, 
1.2 ... (n — Iss 
von h = o an genommen, subftituiren kann, wofern man nach der 
Integration t in h verwandelt; denn entwickelt man diesen Aus 
druck, schafft die Potenzen von t, welche die verschiedenen Glie 
der multiplieiren, unter dem Zeichen /weg, und macht hierauf 
t=h, so verfällt man wieder auf die obige Reihe. 
Es folgt demnach, daß 
, duli d 2 u h 2 
U dx 1 ' dx 2 1.2**'**’ 
d 11 1 u h«- 1 . 1 /“d n u' „ 
4_ .— ——- 4*. / —— (r—h) n ~ 1 dh, 
T dx 11 -‘i.2...(n-l/ 1.2..(n_l)y dh“ V ' 
wofern man das Integral so nimmt, daß es verschwindet, wenn 
b — o, und hierauf t in h verwandelt. 
Man kann in dieser Formel durch ^ ersetzen (89.); und 
wenn man unter dem Integralzeichen 
t — h = zt, oder 
b = (t—l)s 
macht, so erhalt man 
db=-— tdz, 
/~d n u , . s sd n i 
/ — (t — h) 11—I db = — / — 
J dx 11 V ' J dx 
t n z n 1 dz. 
dx 11 y dx 11 
Die Grenzen des Integrals werden alsdann z==i, z = o seyn; 
man wird dasselbe positiv machen, wenn man die Ordnnng der 
Grenzen umkehrt, d. h. wenn man es von z = o bis z = i 
nimmt: schafft man t n unter dem Zeichen sweg und schreibt man 
L anstatt t, so wird das letzte Glied der obigen Formel 
b n f d n u' 1 
— / -— z lx—1 dz 
1.2 ... (n ■— 1 )J dx 11 
Diesen letzten Lehrsatz hat Lagrange, allein auf eine andere 
Weise, in der „tlieorio d68 touetious aualytiques“ 2te Auslage 
§. 35. u. f. bewiesen. 
Er bedient sich dessen, um zu beweisen, daß man die Summe 
aller Glieder der Taylorschen Reihe, von einem gegebenen Gliede