96 Werth von /e~ tm+1 t n dt zwischen rc.
s& 1 dt = — Y“n.
j 2
Allein t ist unendlich groß, wenn x= o, und o, wennx —1;
die Grenzen des letzten Integrals sind demnach cc und o; und
da die Function 6"^ immer positiv ist, so folgt, daß das obere
Zeichen den Grenzen o und -j- oo entspricht, und daß das Inte
gral verdoppelt wird, wenn es von — go bis + go zu nehmen
ist: sein Werth ist demnach alsdann T
§. 430.
Laplace, welcher noch den Ausdruck
y e —tm+i tU(lt
betrachtet, bringt diesen unter die Form
/t n - ra e __tm+1 t m dt,
um ihn durch Theile zu integriren, wodurch erhalten wird:
/e~ tm+l t n dt:
m+1
(e (n— m ) Je
—tm+ijn— m—i
Mtj
So lange der Exponent n—m positiv ist, verschwindet der von
/'befreite Theil zwischen den Grenzen t —o und t= co (99.),
Md es bleibt übrig:
/e- tm+1 t"dt:
^tm+.tn-m-idt,
i—J— 1
wofern das zweite Integral zwischen denselben Grenzen genom
men wird, wie das erste.
Macht man m=i, so erhalt man
Je * 2 t n dt:
n — 1
■je t2 t n ~ 2 dt,
und wenn man diese Reduction wiederholt, so erhält man:
/ e —
welches Resultat durch seinen Coefficienten verschwindet, wenn
H —2r—1, und welches, für n —2r,
giebt.
Es ist übrigens dienlich zu bemerken, daß man, wenn
e tm+i __ x angenommen wird,