102 
Werth von Slx. 
Exponenten gebrochene oder gar irrationale Werthe, so führt man 
in die Reihe Mittelglieder ein, welche demselben Gesetze unter 
worfen sind, wie die andern. 
Vandermonde und Kramp hatten vor langer Zeit vorgeschla 
gen , die Function, welche das allgemeine Glied der obigen Reihe 
vorstellt, als eine neue Art von transcendenten Größen, welche 
mit Eigenschaften versehen sind, die wegen ihrer Analogie mit 
denjenigen der Potenzen merkwürdig sind, in die Analyse einzu 
führen ; seitdem hat Legendre, der an ihrem Ausdrucke in be 
stimmten Integralen festhielt, viele sehr nützliche Relationen aus 
ihnen abgeleitet, sehr ausgedehnte numerische Tafeln für sie 
berechnet, und sie durch das Zeichen 1' bezeichnet, indem er als 
Definition aufstellte: 
rin= nF(n), 
so daß 
/■(„)=/;** (ii)-. -) 
§. 435. 
Der im §. 428. gefundene Ausdruck von ~ kommt in einer 
von Stirling gelieferten Formel vor, um die Summe einer Reihe 
von Logarithmen zu finden, welche Zahlen angehören, die eine 
arithmetische Progression bilden, wozu man auf folgende Art 
gelangt: 
Nach dem §. 408, hat man 
81x —K1x-j-lx; 
setzt man in dieser Gleichung für Klx dasjenige, wozu der Aus 
druck von 2n in §. 405. wird, wenn man u = ix und h==i 
macht, und bemerkt, daß 
Jxdx = xlx — x (208.), 
so erhalt man: 
Slx — xlx X —J” -j- ix 
1 1 
—1 -j— 2C« — l - const. 
‘ 12x 360x 3 ' ‘ 
Man kann die Constante durch die Annahme x = i nickt 
bestimmen; weil die Reihe der numerischen (Koefficienten zuletzt 
divergent wird: man nimmt seine Zuflucht zu dem Ausdruck von 
n in §. 428. Geht man zu den Logarithmen über und über 
schreitet nicht die gerade Zahl 2x in dem Zähler, so findet man: *) 
*) Siehe das ,,Traue eic.“ in 4io. Band Hl. S. 411. 4SI.