Int. partieller Different.-Gleich. durch bestimmte Integrale. 105 
§. 436. 
Da die bestimmten Integrale, Summen von Reihen geben, 
wie wir gesehen haben, so sind sie von Laplace, Parccval, Fou 
rier, Poisson und Cauchy mit Erfolg benutzt worden, um die 
Integrale der partiellen Differential-Gleichungen auszudrücken, 
welche demjenigen ähnlich sind, welches in §.352. vorkam und 
nicht durch eine endliche Anzahl von Gliedern integrirt werden 
konnte. 
Laplace erkannte, daß die im §. 353. erhaltene Reihe 
Z=<p (x) + gp"(x) J + g) lv (x) ~ + rc. 
nur die Entwickelung des in Bezug auf t, zwischen den Grenzen 
t—— co und t = + co, genommenen Integrals 
se t2 dt q> (x + 2t Y'j) 
ist , wobei die Function cp willkürlich ist. Hiervon kann man sich 
leicht auf folgende Art überzeugen. 
Zuerst hat man, nach dem Taylorschen Lehrsätze, 
/e“ 12 dt cp (x + 2t H) — 
i 
iPCx)/e” L2 dt+^-y , (x)/e— t2 .2tdt 
2 3. 
+il t + ^ V "' . 8t»dt 
T 
1.2.3.4 
cp lv (x)fe 12 .16t 4 dt-{-2C. 
Zweitens verschwinden die Integrale, welche in der Entwik- 
kelung zurückbleiben, für alle ungeraden Exponenten, und im 
entgegengesetzten Falle sind sie gleich 
" r»(« o.), 
weil sie zwischen den Grenzen — co und + co ¿u nehmen sind. 
Substituirt man diese Werthe und schließt den constanten Factor 
in die willkürliche Function y)(x) mit ein, so erhalt man 
just die fragliche Reihe: mithin hat die Gleichung 
d 2 z dz 
dx 2 dy 
zum Integrale: 
55 =/ e_l2 dt cp (x -f- 2t f“y). 
Dieses Integral läßt sich leicht bestätigen. Durch die Diffe 
rentiation unter dem Zeichen s (281.) findet man nämlich: