der integr. partiellen Differen t.-Gleichungen. 107 
welches den unbestimmten Ausdruck 
2 
z = Ae~ n2 7sinnx +Aj6 sinn^x-^-rc. *) 
darbietet. 
Dieses vorausgesetzt, wenn der Werth von z außerdem, im 
Falle daß y—o, zu einer gegebenen Function f(x) werden muß, 
so erheischt diese Bedingung einen solchen Zusammenhang zwi 
schen den Coefficienten n und A, daß 
f (x) — A sin nx + Aj sin n^x-j-A 2 sin n 2 x + 2C., 
welches darauf hinausläuft die Function f(x) in eine nach den 
Sinussen der Vielfachen des Bogens x geordnete Reihe zu ver 
wandeln. 
Man wird leicht finden, daß die gegebene Differential - Glei 
chung noch die unbestimmte Entwickelung 
2 
z = Ae u 'icosnx-(- A t e n iy cos n x x + ZC. 
zuläßt, und die zu erfüllende Bedingung würde in diesem Falle 
f (x) = A cos nx-j-A x cosn 1 x-}-A 2 cos n 2 x-s- rc. 
d. h. die Umwandlung von £(x) in eine nach den Cosinussen 
der Vielfachen des Bogens x geordnete Reihe seyn. 
Man kannte schon mehre Entwickelungen dieser Art: Euler 
hatte bemerkt, daß 
^-X — sinx — 4- sin 2x -f- l sin Zx — 2C., **) 
welche Formel die Aufgabe löst, wenn f(x) — x, weil man aus 
ihr ableitet 
*) Diese Entwicklung liegt implicite in der im §. 352. gegebenen. Um 
sie hervortreten zu lassen, peicht es hin, in der erwähnten Stelle, 
n in—n 2 oder yii in + nfS—i, hieraufAin ~+~ —zu verwandeln, 
was für z die beiden Ausdrücke 
^ e -:n 2 y+nx/'-1 Äe ~n 2 y—nx/ 7 —i 
__ , — 2// — 
giebt, deren Summe 
A 
( n%y~~i —QX t 7 - 
n2y ^ 273, = Ae n2 ^sinnx (187.) 
ist. Eben so verhalt es sich mit allen übrigen Gliedern. 
**) Diese Reihe ist im „Traiie etc.“' in 4to, im B. I. S.94. aufgeführt, 
und Folgendes ist der Weg dieselbe zu erhalten. Wenn man in der 
Formel i(i + u) = - - - + l ~ - + rc. (29.) 
u in u —1 verwandelt, so giebt dieselbe: