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der integr. partiellen Different.-Gleichungen. 111 
§. 440. 
Diese Ausdrücke lassen hinsichtlich ihrer Ausdehnung sehr 
delicate Untersuchungen zu. Es ist hier nicht der Ort bei diesen 
Details zu verweilen, allein ich will dieselben wenigstens von 
ferne dadurch andeuten, daß ich den Gang der Werthe der bei 
den Seiten der Gleichung 
-i-x — sin x — ^-siri 2x-j-|sin 3x — 2C. 
anzeige. 
Jene Werthe verschwinden, wenn x = o; und wenn man 
x—^ macht, so zieht man daraus 
4 TT =■ 1 3 "f“ T T ^C. , 
ein bekannter Werth (38). Allein wenn man x~tc annimmt, 
welches \tc für die erste Seite giebt, so verschwindet die zweite: 
eben so verhält es sich mit dem Werthe x — — n, so daß die 
Entwicklung nur zwischen den Grenzen x = ausschließlich 
genau ist, d. h. daß die Werthe von ^ und — ^ nicht mit inbe 
griffen sind. 
Macht man hierauf 
so wird die Entwickelung: 
•—sin y —4- sin 2y—\ sin 3y—rc., 
und entspricht nicht mehr der ersten Seite, welche 4(rr-j-y) ist; 
allein wenn x in n — y verwandelt, so erfolgt: 
\{jC— y) = siny-}-4.sln 2y-j-|sin 3y+2C., 
welches zeigt, daß die Entwickelung in j den Werth des nega 
tiven Bogens 4(y — ix) giebt, mit der Ausnahme desjenigen 
Falles jedoch, daß y —o. 
Man hat noch zu bemerken, daß die Entwickelung von 4-x 
unmittelbar diejenige der Function ax + b giebt, welche die Or 
dinate einer beliebigen geraden Linie ausdrückt; allein wahrend 
die Function die Gerade in ihrer ganzen Ausdehnung vorstellt, 
entspricht die Entwickelung in Sinussen nur demjenigen Theile 
der Geraden welcher zwischen den Abscissen -\-n und — n aus 
schließlich liegt. Man kann durch Aenderung der Veränderlichen 
zu andern Grenzen übergehen, wie wir später sehen werden 
(442); allein man wird immerhin nur einen Theil der Geraden 
erhalten.