112 Ueber die willkürlichen Functionen
§. 441.
Die Entwickelungen (A) und (B) scheinen respective zwei
Arten von Functionen vorstellen zu müssen. Die erste, deren
sämmtliche Glieder mit x ihr Zeichen ändern, entspricht den Fäl
len, in welchen £(x) eine Function ist, welche dieselbe Eigen
schaft besitzt und welche eine ungerade Function genannt
wird, weil sie, wenn sie nach Potenzen von x entwickelt würde,
nur ungerade enthalten würde.
Die zweite Entwickelung, welche die entgegengesetzte Eigen
schaft besitzt, diejenige nämlich, ihr Zeichen beizubehalten, obschon
das Zeichen von x sich ändert, würde besonders auf gerade
Functionen anwendbar seyn; allein beide sind nur Reihen,
die man durch ein neues bestimmtes Integral ersetzen kann, wie
wir sogleich sehen werden.
Beginnen wir deßhalb damit, sie zu vereinigen, indem wir
bemerken, daß eine beliebige Function F(x) in zwei Theile zer
legt werden kann, deren einer gerade d. i. so beschaffen ist, daß
er, durch lgp(x) vorgestellt, cp(x) — cp{—x) giebt, und der an
dere ungerade d. i. von solcher Beschaffenheit ist, daß er, durch
ip (x) bezeichnet, ip (x) — — pj (x) giebt. Drückt man den ersten
durch die Reihe (B) und den zweiten durch die Reihe (A) aus,
und nimmt ihre Summe, so erhält man:
cp (x) Z- ip(x) = F (x) = ~ßp (t) dt -f.
2 j cos xßp(t)dt cos t-j- cos 2xscp (t)dt cos
n sin xßip(t)dt sin t -J- sin 2xßipßjdt sin 2t -st- 2C.) f
wofern die Grenzen dieser Integrale fortwährend o und n sind.
Man kann sie von —n bis -\-n ausdehnen, wofern man
die erste Seite verdoppelt, weil die Function </>(t), da sie gerade
ist, von o zu —Ti durch dieselben Werthe hindurchgehen wird
wie von o zu re, so wie die Cosinusse. Die Function \p{t)
wird zwar in diesen Zwischenräumen verschiedene Zeichen haben;
allein da sie immer mit einem Sinus multiplicirt ist, der zu
gleicher Zeit sein Zeichen ändert, so wird das Product dasselbe
Zeichen behalten: das totale Resultat wird demnach verdoppelt
werden. Nimmt man also die Integrale von — n bis -j- , so
hat man aufzustellen:
2FO)=i/<p(t;)dt+
2 j cos xfcp{t)dt cos t + cos 2xßcp(t)dt cos 2t -st- reff
n (-j- sin xßip(t)dt sin t -st- sin 2xßip(t) dt sin 2t -st- 2C.i