Variations-Rechnung.
Aufsuchen der Variation einer beliebigen Function.'
§. 356.
Älle früheren Anwendungen der Differential-Rechnung setzen
voraus, daß die Abhängigkeit der Veränderlichen im Laufe einer
Aufgabe beständig dieselbe bleibe. Allein es giebt verschiedene
Arten von Aufgaben, für welche diese Abhängigkeit als verän
derlich anzusehen ist, wie z. B. die folgende. Wenn V eine
Function bedeutet, welche x, y und die Differential - Coefficien-
ten von y enthält; so läßt das Integral
/Vdx
zwischen denselben Grenz - Werthen von x, eine unendliche An-
zahl von Werthen zu, welche von der zwischen x und y festge
stellten Relation abhangen, so daß man die Frage auswerfen
kann; „welche von allen möglichen Relationen macht das gegebene
Integral zum Maximum oder Minimum?" Da das Integral
/Vdx, wofern man die Relation zwischen j und x nicht parti-
cularisirt, daß Maß einer allen krummen Linien gemeinschaftli
chen Eigenschaft ausdrückt, so frägt es sich also, für welche krum
me Linie jene Eigenschaft ein Maximum oder Minimum ist.
Es ist ersichtlich, daß wenn EL Fig. 60. die letztere krumme Fkg.lD.
Linie ist, das Integral /Vdx für jede andere krumme Linie ys
in dem ersteren Falle einen kleineren und in dem letzteren einen
größeren Werth hat. Um jener Bedingung zu genügen, muß
vor allen Dingen der Unterschied untersucht werden, den eine
beliebige Aenderung in der Relation zwischen y und x oder in
der Natur der diese Relation vorstellenden krummen Linie, zwi
schen den Werthen des Integrals /Vdx bewirkt. Jene Aende
rung drückt man dadurch aus, daß man y unabhängig von x
variiren läßt; denn betrachtet man zwei krumme Linien CE und
ys, so entspricht dieselbe Abscisse AP zweien Ordinaten PM und
P/i, und der Unterschied Mft dieser Ordinaten muß von den
Unterschieden M'R und (.lq , welche zwischen zwei bei derselben
krummen Linie auf einander folgenden Ordinaten Statt finden,
wohl unterschieden werden.
Laerei^ Bariat.
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