u m stellt, na.vo fl c! und 6. 3
die Aenderung von dy, von einer krummen Linie zur andern, ist,
und man wird haben:
V\u' — Tu^-Qr -f—/£ , r = y + dy-J— d>dy
=j-f- dy+d(y-hdj);
allein da der Punkt fi ein auf der krummen Linie ye auf ¡t fol
gender Punkt ist, so har man .auch:
PV — y + (5y-f- d Cy + öy)—y-f- dy++ döy.
Vergleicht man diese beiden Ausdrücke, so ergiebt sich:
„<5dy— ddj ff .
Dieses kann auch ohne Betrachtung von krummen Linien
bewiesen werden, wenn man den ursprünglichen Zustand von y
durch ^(x) und den Zustand von y nach der Variation durch
eine andere Function ch(x) bezeichnet. *) Alsdann wird Sj =
r/>(x) — yx) eine gewisse Function von x und folglich, wegen
des ursprünglichen Zusammenhangs zwischen y und x, auch von
y seyn. Bezeichnet man 'diese letztere Function durch n, so er
hält man
*) Um den Functionen <p und ip einen gemeinschaftlichen Ursprung zu
geben, sah Euler, welcher sich beeilte, die Variations-Rechnung auf
zunehmen und zu erläutern, den ursprünglichen Werth von y oder
ip(x) als von einer andern Function abgeleitet an, welche nebst der
Veränderlichen x noch eine andere Veränderliche t enthält und in cp(x)
übergeht, wenn 1=0. (Novi Gomm. Acad. Petrop. t. XVI» p. 35).
Durch dieses Hülfsmitttcl wird
yd-dy zu
• dy
y + dT'"'
dv
und das unter der Annahme von t — o zu nehmende stellt, so
lange der Zusammenhang zwischen y und t noch nicht particularisirt
ist, eine willkürliche Function von x vor. Der allgemeine Werth von
y würde durch die Reihe
. dy dt d 2 y dl 2
* dt 1 di 2 1.2
ausgedrückt werden, wofern die Veränderliche t in y und in deren
Differential- Cocfficienten der Null gleich angenommen wird. Nimmt
man die Differential-Coefficicnten dieser Reihe in Bezug auf x, so
erhält man alle zu substituirenden Größen, um den nach den Poten
zen von dt geordneten geänderten Zustand des Integrals /Vdx zu er
langen. Unter dieser Form führt Lagrange in der letzten Ausgabe
feiner „Teeons sur le Calcul des Fonctions 1 * die Variations-Rechnung
auf, über welche er in sehr interessante Details eingeht. (Siehe den
„Tratte etc.“ in 4to. B. II. S. 723.)