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Um stell ring von / und d.
dj r= 7T(y).
Macht man, zur Abkürzung, y-^dy=y', so hat man nach
diesem Gesetze ebenfalls
hieraus schließt man
6/' — öy —n{y) — n(j) ----- L. n(j) — ddj;
allein da
so erhält man durch's Nehmen der Variationen
<% t- ßy' — öy—n(y) — n(f).
Folglich findet man auch hier wiederum :
ddy — ddy.
Es folgt hieraus bald, daß
dd 2 j—dddy =— d*dy, und fährt man Hier
mitfort, so ergiebt sich bald der Haupt-Lehrsatz:
^,dd"yd n dy fi
wodurch gestattet wird, das vor dem Zeichen 6 stehende
Zeichen ö hinter das erstere zu stellen.
Um der Rechnung mehr Simmetrie zu geben, so wie auch um
Umstände berücksichtigen zu können, welche sich auf die Grenzen
der Integrale beziehen, und wovon wir später einige Beispiele
sehen werden, läßt man x nicht minder variiren als y ; allein der
eben aufgestellte Lehrsatz hört darum nicht auf gültig zu seyn.
Denn da das Gesetz der Variation obgleich willkürlich dennoch con-
stant ist, so ist dx eine Function von x, woraus dx' hervor
geht, wenn man in ihr x in x' verwandelt. Es folgt daher:
ddx = ddx,
und eben so:
ddV---ddV,
für jede von x, y und ihren Differentialen abhängige Function V.
§. 358.
Es findet ein ähnlicher Lehrsatz in Bezug auf das Zeichen
/Statt. Denn stellt man fü durch 17, vor, so erfolgt
düj— U und hieraus ddU 1 =dU;
laßt man das dem d vorhergehende d demselben folgen, und
geht alsdann zu den Integralen über, so findet man nach und
nach
ddl/^dU, dU, =/dU;
fetzt man nun wiederum für ü 4 den obigen Werth derselben, so
erhalt man endlich:
„d/ü^/dU"